Q M. Hermile: 



On trouvera comme tout ä 1'heure ř = — 1 et il faudra obtenir Findice de 1'expression 



n (— é) 



$ (— é) 

 que la Substitution suivante 



ramene ä -pj^r • Mais cette variable £ parcourt maintenant l'intervalle compris entre — 1 



et -f- 1, lorsque í croit de — oo ä — |— oo , il y a donc n passages par l'infini qui correspondent 

 aux diverses racines a, i, . . . I du polynome de Legendre. Cela étant, 1'égalité 



i?(ž)_ 1 . 1_ , 1 



F(i) (1 - a 3 ) F>* (a) (|- a) "^ (1 — Ď 2 j F'* (5) (| _&)+••• + (i _ ř «; jm (ř) (| - í) 



fait voir que ces passages ont lieu du négatif au positif; on a donc 



Ind -=- i ~ =: — n 



{ — é) 



et nous en concluons cette seconde relation 



Ind-^ =z — n — 1. 



Les cótés du rectangle qui nous restent ä considérer conduisent aux expressions: 



/ (*» % + a -f it) = (W* + o-f-ťí)® [(— 1)* e°+ u ] — n [(— 1)* e a + a ], 

 et 



f(kÍ7t — a-\- it) = (Jcin — a-{-iť)® [(— i)* e -°+ ie ] — JT [(— 1)* <*-«+«] 



qui prennent pour de grandes valeurs de la constante a une forme extrěmement simple. 



Soit ďabord en développant suivant les puissances descendantes de 1'exponentielle : 



O (e<) == ae nt + . . . , 



la premiére se réduit au seul terme 



o 



cca ( — l) nk e na (cos nt-\-i sin mí), 

 et le rapport „ ä la quantité qui devient infinie m fois en passant du positif au 



négatif lorsque í croit de zéro ä n. Pour obtenir la seconde, on employera les développements 

 de IJ(é) et de 3>(e*) suivant les puissances ascendantes de é. En négligeant 1'exponentielle 

 e — °+ ří , la partie reelle P est une constante, de sortě que Findice relatif au quatriěme coté 

 du rectangle est nul. 



