Sur les racines de la fonction sphérique de seconde espkce. 7 



Les résultats que nous venons ďétablir donnent immédiatement 1'indice relatif au 

 contour total du rectangle; en observant que 1'indice du cóté parallele ä la base doit étre 

 changé de signe afin ďavoir égard au sens dans lequel il est parcouru, on obtient les con- 

 clusions suivantes : 



1° Lorsque 1'entier Je auquel correspond la base est un nombre paire 21, la sorome des 

 indices — l,n,n-\-l est égale ä 2n; 1'équation Q n (x) = a donc n racines comprises entre 

 les deux paralleles y = 2ln, y = (21 -f- 1)«. 



2° Mais si la base correspond ä un entier impair Je = 21 -f- 1, les indices étant — n 

 — 1, n, 1, leur somme est nulle, et il n'existe aueune racine entre les droites y = (21 -f- 1)« 

 et ?/ = (2Z + 2)ji. 



L'analyse precedente doit étre légěrement modifiée lorsqu'il s'agit de la portion du 

 plan limitée par Taxe des abscisses et la droite y = « ; le long de Taxe en effet la fonction 

 f(g) est reelle et n'a pas la forme P-\-iQ. Nous considérerons une parallele infiniment voi- 

 sine représentée par 1'équation z — t-\- id, en supposant que ä soit infiniment petit et po- 

 sitif. Ayant ainsi: 



f(s)=f(t) + iäf(t), 



l'indice de -p sera celui de la quantité -^j4- , qui est egal ä — ft, si l'on designe par (i le 



nombre des racines reelles de 1'équation f(t) = 0. L'indice du contour du rectangle est donc 



— H -f- n -f- w + 1 



et sera connu lorsque nous aurons obtenu le nombre ft. J'employerai dans ce but cette ex- 

 pression de Q n (x), la premiére qui se soit Offerte, ä savoir : 



Q>(xj=±-F(x)f- 



dx 



(x*—l)F\x)' 



Elle montre que cette fonction reste toujours de méme signe et positive, lorsque la va- 

 riable est en valeur absolue supérieure ä l'unite. On voit aussi que Q n (x) s'evanouit pour x 

 infini, le développement de 1'intégrale suivant les puissance descendantes de la variable com- 



mencant par un tenne en 2n + 1 - Par conséquent ä 1' égard de t qui est lié ä x par la 



relation 



_e' + l 



on n'a qu'une seule et unique racine t = 0. Le nombre n étant égal ä l'unite, il est établi 

 que la portion du plan que nous venons de considérer contient n l'acines comme toutes celles 

 qui sont comprises entres les di'oites y ■=. 21 «, y = (21 -\- l)n. 



Une demiěre remarque nous reste ä faire. 



L'equation qui vient de nous oecuper a ses racines imaginaires conjuguées puisqu'elle 

 est ä coefficients réels et ces racines sont deux ä deux égales et de signes contraires. Elles 



