8 M. Hermite: 



se trouvent donc en nombre pair et représentées par les quantités g-\-ih, — g-\-ih, dans 

 la region oú nous venons de démontrer que leur nombre est n, ä moins que l'on n'ait g = 0. 

 De lä résulte, lorsque n est impair, 1'existence ďun nombre impair de racines telles que 

 z = ih, od la quantité h est comprise entre les limites 21 n et (2l-\-l)n. Cest ce qu'il s'agit 

 de reconnaitre. 



J'observe dans ce but qu'en posant s = i? dans 1'expression 



_ ** + l 



on en tire 



1 t £ 

 % 2 



La transformée en t, de 1'équation f(z) r=0, est donc: 



et si 1'on écrit pour un moment 



-g- F(x) = ax n -f ßx"~ 2 + -\-cax, R(x) = ax"- 1 -^bx"- 3 + -\-p 



on l'obtient ainsi souš forme entiěre : 



[ ß (T cos 4) B "+ 6s ^T(T cos 4) ,> "+----+ J5S ^ _1 i] =a 



■sm -~ 



Faisons maintenant dans le premiér membre les substitutions £ = 21 it, § = (21 -j- 1)« ; en se 

 servant de la condition que n est impair les resultats seront : 



2l7icc(—iyi 1 + ln , —p(—l) ln , 



et il faut établir qu'ils sont de signes contraires. Kemarquant ä cet effet que p est la valeur 

 de R(x) pour x=.0, on est amené ä recourir a 1'expression de M r Ohristoffel 



p/^ — S« — l x i 2n — 5 Y 2n — 9 



I.íí ' 3(n — 1) 5(w — 2) ' 



Mais cette formule ne conduit pas au but, les polynomes ďindices pairs X , X 2 , X 4 , . . . . 

 présentant la succession des signes -{-, — , -f-, etc. lorsqu'on suppose x = 0. Nous employe- 

 rons un autre résultat de-1'illustre geometre, je ferai usage de 1'équation suivante 



