Sur les racines de la fonction sphérique de seconde espece. 9 



X X 



R n X v — X n B v = z TT V 1 , (* = 0, 1, 2, . . . n — v — ' 1) 



v-f-s-j- 1 ' 



dans le cas particulier de v = 0. Elle donne cette nouvelle expression 



R(x) — ^Q-^"- 1 I -^L-^»-2 i _ i %n-\X 



n- 1 



dout touš les termes ont pour x = O le signe de (— 1) 2 ; le coefficient a étant positif il 

 est prouvé que les substitutions t,-=.2ln, g = (2Z —J— 1) »r conduisent, comme nous voulions 

 1'établir, ä des résultats de signes contraires. 



La fonction sphérique de seconde espece définie ä 1'intérieur de la circonférence de 

 rayon égal ä 1'unité, dont le centre est ä 1'origine, par la fonnule 



Q*(x) = ±-F(x)log±±^-R(x), 



se traite de la méme maniěre et par le méme procédé. 



14-« 

 Ainsi en posant 1 = e* nous obtenons une fonction holomorphe de z 



oů 1'on a 



f(z) = zO(ď)-n(e% 



^^(e' + l)^^), 77( e *) = (e>+l)« i? ('—[). 



Soit ensuite, 



z éa hin -j- t, z r= hin -\-a-\-ii 



et faisons successivement f(z) = P J r iQ. On trouvera en premiér Heu, suivant que h est pair 



ou impair, Ind-p = — n — 1, ou Ind -p- = — 1 ; puis suivant que la constante a supposée 



trěs grande est positive ou negative, Ind-p- ==» ou bien Ind-p—O. A 1'égard du nombre (t 



des racines reelles, je dois ä M. Stieltjes la remarque qu'jl résulte ďun théorěme général 

 de Sturm sur les Solutions ďune équation différentielle linéaire du seconde ordre, que 1'on a 

 fi := n -j- 1, deux racines consécutives comprenant toujours une racine de X n = 0. Cest ce qui 

 résulte aussi de Fexpression déja employée 



R(x)_ A B . . L 



F(x) x — a ' x — 6 •" "■ ' as — l 



oii les numérateurs des fractions simples sont touš positifs. 



Supposons que 1'on ait a < b < c < . . . <C l, et écrivons le premiér membre souš la 



forme 



1 . 14- as „ A 



2 y \ — x x — 



