JO M. Bermite : Sur les racines de la fonction sphéi-ique de seconde espéce. 



On voit que la dérivée 



1 — a; 2 ' (x — o) 2 



étant positive, lorsque la variable croít de a ä b par exemple, 1'équation ne peut avoir qu'une 



seule et nnique racine dans cet intervalle ; il en est de méme entre les limites — 1 et a 



ďune part, l et 1 de l'autre. Et comme en faisant dans l'expression considérée les substitutions 



x = a -f- <?, x =z b — <?, oü á est infiniment petit et positif, ou obtient des résultats de signes 



A 7? 



contraires, -^et -f-; qu'il en est de méme si l'on suppose x = — l-\-ů, x=:a — ů, et 



o o 



enfin xz=l-\- d, x = l — d, ona ainsi démontré l'existence de w + 1 racines, placées cha- 



cune entre deux termes consécutifs de la suite 



— l,a,b,c, ....ž,-fl. 



Ce point établi, et aprěs a voir remarqué la relation 



il suffira ďénoncer les conclusions suivantes. 



L'equation f(z) = O admet n racines qui sont comprises dans l'intervalle des paral- 

 leles y = (2l — 1) jt, y =: 2ln, et il n'y en a aucune entre les droites y = 2lit, yz=(2l-\- 1) sr, 

 pour l = 0, 1,2, etc. 



II n'y a de méme aucune racine dans la region comprise entre une parallele ä Taxe 

 des abscisses, ä une distance infiniment petite au dessus de cet axe, et la droite y = n. 



Enfin et dans le cas de n impair, il exište, représentées par la forme £ = ih, un 

 nombre impair de racines oü h est renfermé entre les limites (21 — 1) % et 2ln. 



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