A 3. Prof. E. Küpper: 



Doppelgerade besitzt, leuchtet die Behauptung sogleich ein; der allgemeine Beweis verlangt 

 eine genauere Untersuchung der Congruenz. 



2. Die einem Congruenzstrahle adjungirten Involutionen. 



a) Wir bezeichnen mit £, r die beiden Congruenzen, als deren Bestimmungsstücke 

 gelten der Strahl G und je eine der Schaaren S, 2 auf F*. Zwei beliebig durch G gelegte 

 Ebenen E, E' werden durch die S in collineare Beziehung (S) gesetzt. Denn die Strahlen von 

 (S, welche eine in E gedachte Gerade e treffen, bilden eine Kegelschaar, durchdringen demnach 

 E', welche G enthält, wieder auf einer Geraden e\ Um zu sehen, dass in dieser Collineation 

 (6) die G sich selbst entspricht, fasse man die Involution & auf: Sie liefert in E, E' zwei 

 krumme Involutionen )\, j\, die beide G zur Polare haben; g, g' seien ihre Pole. Aus der 

 Herleitung der £. (1) geht hervor, dass einem beliebigen Paare a b von j x ein Paar ď b' 

 von j\ collinear zugewiesen ist, daher sind auch g, g' homolog in (£). (Vermittelst F erhielte 

 man eine neue collineare Abbildung der E auf E' ; aber auch in dieser wären g, g' homologe 

 Puncte, nur würde dem Paare a b nicht mehr a' b', sondern ein anderes W ß' von j\ entsprechen). 



Wenn nun G von ab in c, von a' b' in c' geschnitten wird, wobei g von c durch 

 «, b; g' von c' durch a' b' harmonisch getrennt sein wird; so erkennt man c, c' als homo- 

 loge Puncte in (S) ; d. h. in G erscheinen zwei projectirische Gebilde (c') 7Š (c) der Collinea- 

 tion (S). Wir werden jetzt beweisen, dass die ihnen adjungirte Involution identisch mit der- 

 jenigeu ;' ist, welche der G in Bezug auf die Congruenzfläche F 2 zukommt. 



Da a b durch g geht, so schneiden sich die Tangentialebenen von F 2 für die. Puncto 

 «, i, in y, der mit c ein Paar der ; liefert. Treffen die durch a, b gehenden Geraden der 

 Leitschar E die Ebene E' in «', ß', so dass a'a', b'ß' sich in y schneiden, so müssen a'ß', 

 b'a' durch c gehen. 



Es treffe a'ß' in c -1 die G, so dass c, y, c', c _1 harmonisch sind, dann hätten wir 

 nur darzuthun, dass c _1 , in E gedacht, znm Bilde c in E' hat. Das auf cg' fallende Paar der 

 j\ sei m'n' = fi'v', es entspricht bei der einen Abbildung (£) dem Paare mn von ; 15 bei der 

 anderen (T) dem Paare (iv. Ginge mn durch c -1 , so wäre unser Beweis erbracht: Durch die 

 4 Geraden der F 2 : aa\ bb', (im', vn' und durch den Punct c ist ein Hyperboloid bestimmt, 

 von welchem cab eine Gerade, cm'n' eine zweite ist ; also liegt in E noch eine Gerade dieses 

 Hyperboloids, die offenbar ft v sein wird ; analog liegt in E' die a'b'. Diese beiden Geraden 



