Strahlen-Compléx und die Congruenz. 5 



gehören zu verschiedenen Schaaren der Fläche, müssen sich somit schneiden, daher geht (i v 

 durch c'. Dann aber muss (wie oben) der Schnittpunct von mn mit G von ď durch c, y har- 

 monisch getrennt werden, mithin c _1 sein, w. z. b. w. 



Indem man in Betracht zieht, dass die Involution j allein durch die Collineation 

 (6) bedingt ist, gelangt man zu der Folgerung: 



Ist G ein Congruenzstrahl, F 2 eine durch irgend drei nicht mit G 

 hyperboloidisch liegende Strahlen bestimmte Regelfläche, so hat diese 

 auf G eine unveränderliche Involution j conjugirter Pole. Aus diesem Grunde 

 soll diese; dem Strahl G adjungirt heissen. 



Unsere Erörterung zeigt auch in welch verschiedener Art E auf E' durch (5, oder 

 r abgebildet wird : Im ersten Falle entspricht einer durch c -1 in E gezogenen Geraden (der 

 mn) eine (mV) durch c in E' ; im zweiten Falle dagegen hat eine in E liegende durch c ge- 

 hende Gerade (die ab) als homologe in E' die duch c -1 gehende a'ß'. 



b) Die einem Complexstrahle adjungirte Ebeneninvolution. Wie die 

 Congruenz eine collineare Beziehung zwischen zwei durch einen Strahl gehende Ebenen her- 

 stellt, so werden in analoger Weise durch sie zwei Strahlenbündel (s), (s'), deren Centra s, s' 

 durch einen Congruenzstrahl verbunden werden, collinear auf einander bezogen. Indem man 

 die beiden Ebenen einander zuordnet, welche aus s, s' den nämlichen Strahl projiziren, wird 

 jeder durch s gehenden Ebene eine durch s' gehende entsprechen, und wenn jene einen 

 Büschel um die Axe s x beschreibt, wird diese sich gleichzeitig um eine Axe s' x' sich drehen. 

 Denn die auf s x stehenden Strahlen bilden eine Regelschaar, zu welcher ss' selbst gehört, 

 und durch s' existirt eine einzige Transversale über diese Schaar, nämlich s' x'. Damit ist 

 die Collineation erwiesen; in ihr ist jeder durch s s' gehenden Ebene F wieder 

 eine ss' enthaltende Ebene F als homologe zugewiesen: 



Als F kann man xss' ansehen, dann erhellt leicht, dass ihr die Ebene x 1 ss' als F' 

 entspricht. Durch die Congruenz wird ja (a) die Ebene F so auf x' s s' abgebildet, dass die 

 Geraden sx, s'x' homolog sind, dass mithin auf der bei dieser Abbildung sich selbst homo- 

 logen ss' zwei projectivische Gebilde auftreten, in denen die Puncte s, s' sich entsprechen 

 (wie c, c' unter a). 



Alsdann muss aber jeder durch s in F gezogenen Geraden eine durch s' gehende in 

 x'ss' fallende ebenso entsprechen, wie dies sx, s'x' thun, daher ist F = ss'x'. Um die hier er- 

 kannte Projectivität (F) 7\ (F) zu erhalten, kann man folgendermassen verfahren : G sei ein 

 willkührlicher Congruenzstrahl, die Ebenen Gs, Gs' fasse man als E, E' in a) auf und bestimme 

 die unter a) mit (c') 7\ (c) bezeichnete Projectivität, dann wird diese aus der Axe ss' durch 

 (F) 7\ (F) projizirt. 



Wenn man an die Stelle von s, s' zwei beliebige andere Puncte des Strahls ss' treten 

 lässt, so erhält man eine neue projectivische Beziehung zwischen den Puncten von G, oder 

 den Ebeneu F, wir haben aber gesehen, dass allen den in G auftretenden Beziehungen eine 

 invariable Involution j adjungirt ist. Die Ebeneninvolution J, welche sie aus dem Strahl ss' 

 projizirt, wird allen den zwischen den Ebenen F auftretenden Projectivitäten adjungirt sein ; 

 deshalb heisse sie kurz dem Strahle ss' adjungirt: 



