g 3. Prof. K, Küpper: 



Diese J wird von jedem beliebigen Strahl G in der ihm adjungirten 

 Punctinvolution/ geschnitten. 



3. Nehmen wir jetzt die in 1. ausgesprochene Behauptung wieder auf, so wird man 

 deren Richtigkeit bald einsehen. 



Aus der Schaar 2 wählen wir eine Gerade, d, h. einen Strahl der Congruenz F, die 

 ihm adjungirte Ebeneninvolution J schneidet & aus. Ä liefert in jeder Ebene des Raumes 

 eine krumme Involution^; in derselben Ebene liegt ein Congruenzstrahl G, welcher von J 

 in der j geschnitten wird, die der Geraden G bezüglich F 2 adjungirt ist, und hieraus folgt die 

 Identität von G und der Polare der y\. 



Es ist klar, dass man hiebei 2 durch eine andere Strahlenschaar J7 X der F ersetzen 

 kann, wodurch man eine involutorische Paarung ihrer Leitschaar S 1 erhält ; die Polaren dieser 

 Involution bleiben aber die früheren. Man kann auch die in F vorkommenden cd 1 Complexe 

 aus einem einzigen C hervorgehen lassen, der unmittelbar durch die S. gegeben ist, nämlich 

 in welchem die Paare der S. conjugirte Gerade sind. Durch den (nicht in 2 befindlichen) 

 Congruenzstrahl G lege man eine Ebene E, die von £. in j\ durchstossen werde, dann ist 

 der Pol g dieser j\ Nullpunct der Ebene E in C g . Wird jetzt irgend ein Complex C der 

 Congruenz F gedacht, so ist in ihm die Schaar S involutorisch gepaart, als Conjugirte in C'. 

 Diese Involution hat mit S h ein Paar gemein. Steht dieses in den Puncten 1, 2 auf E, so 

 dass 12 Complexstrahl von C ist, so wird der Schnittpunct g', von 12 und G Nullpunct der 

 Ebene E in C sein. Da 1,2, g, g' harmonisch liegen, sagen wir, C', C sind in In- 

 volution (v. 4.). 



„Sämmtliche Complexe der Congruenz F gehen somit aus C hervor, 

 wenn man zu C den involutorischen in jeder Congruenz nimmt, welche zu 

 Directricen ein Paar von & hat." 



Sieht man in den Congruenzstrahlen die Polaren einer involutorischen Regelschaar 

 Ä. , so springt in die Augen, dass die adjungirten Involutionen gleichartig sind, d. h. dass sie 

 entweder alle mit reellen Doppelelementen versehen sind, oder aber keine, je nachdem in S. 

 reelle Doppelgerade auftreten, oder nicht. 



Wollte man die adjungirten Involutionen zur Bestimmung der Congruenz verwenden, 

 so hätte man: 



Erstens: Durch einen Strahl (?, die zugehörige J — oder/ — und durch 2 andere 

 Strahlen 6r 1 , G 2 ist die Congruenz F bestimmt. Denn vermittelst J — oder j — wird die 

 Schaar S, deren Leitlinien G, G^ G 2 sind, involutorisch gepaart; und die Polaren oieser In- 

 volution constituiren die fragliche Congruenz. 



Zweitens: Sind auf zwei windschiefen Geraden G x G 2 die gleichar- 

 tigen Involutionen^,^ angenommen, so gibt es zwei Congruenzen, in 

 welchem G v G 2 Strahlen, j v j 2 die ihnen adjungirten Involutionen sind. 



Beweis. G sei ein Strahl einer dem Satze entsprechenden Congruenz, alsdann 

 müsste aus der Axe G sich die j\ in die j 2 projiziren. Ich werde zeigen, dass in einer Ebene 

 E zwei solche Axen vorkommen: E werde von G i 1 , G 2 in d T , d 2 und von der Geraden ä x d 2 , 



