Strahlen-Complex und die Congruenz. 7 



welche die mit d v d 2 in j\, ; 2 gepaarten Punkte í 15 d 2 verbindet in á getroffen. Soll in E 

 eine Axe wie G existiren, so müsste sie offenbar durch ů gehen. 



Eine beliebige Transversale über G lt G 2 schneide diese in a lt a 2 die E in a, die 

 Verbindungslinie der mit c^, a 2 in j v j 2 gepaarten Puncte « 15 a 2 treffe E in «. Fällt hier u 

 auf die Gerade #a, so hat man in dieser eine der gesuchten Axen. Vermöge der Beziehung, 

 welche hier zwischen den Puncten a, a der E hergestellt erscheint, und die involutorisch ist, 

 erkennt man dieselbe leicht als die bekannte Steiner'sche Verwandtschaft mit den Haupt- 

 puncten d v d 2 , á. Denn d t a., d t a sind die Tracen zweier Ebenen, welche durch G 1 und die 

 Transversalen a x a a , a x a 2 gehen, das heisst eines Paars der Ebeneninvolution, die aus der 

 Axe G x die j 2 projizirt. Ahaloges gilt für d 2 a, d 2 cc. 



Also werden die Paare a, a der Ebene aus d 1 und d 2 durch 2 Strahleninvolutioncn 

 projizirt, und da dem Strahl d t d 2 je nachdem man ihn zu der einen oder anderen dieser 

 Involutionen rechnet, entweder d 2 d, oder d 1 ä zugeordnet ist, so folgt, dass d der dritte Haupt- 

 puuct sein wird. Da ferner die beiden erstgenannten Involutionen gleichartig sind, so muss 

 die dritte (welche aus d die Paare «, « projizirt) zwei reelle Doppelstrahlen besitzen. G sei 

 einer dieser Doppelstrahlen; dann wird durch G i: G 2 , G und die adjungirte j\ von G 1 eine 

 einzige Congruenz sich bestimmen, in welcher G 2 die adjungirte j 2 zukommt. Der nicht be- 

 nutzte 2te Doppelstrahl in E liefert gleicher Weise die zweite noch mögliche Congruenz. 



4. Zwei Complexe in Involution. 



Denkt man eine Congruenz r durch irgend zwei ihrer Complexe C, C gegeben, so 

 kommt man in neuer Weise zu den einem Strahle G adjungirten Involutionen. Eine um G 

 sich drehende Ebene habe in C, C' die Nullpuncte c, c', dann beschreiben diese auf G zwei 

 projectivische Gebilde (c')7\ (c), und wir. werden nachweisen, dass die denselben 

 adjungirte Involution mit derjenigen einerlei ist, die wir unter 2. als adjun- 

 girte von G mit / bezeichnet haben. Zu dem Ende nehmen wir auf G einen beliebigen Punct 

 an, nennen E, E' seine Nullebenen für C, C und stellen für diese Ebenen genau die in 2. 

 durchgeführte Betrachtung an. Wir erhielten dort in G zwei projectivische Gebilde (c') 7v (c), 

 die mit den hier eben so genannten übereinstimmen. Um dies einzusehen, hat man nur in 

 den vorliegenden E, E' collineare Gerade aufzusuchen und zu zeigen, dass sie auf G die Null- 

 puncte einer Cř enthaltenden Ebene bestimmen. Durch e ziehe man irgend eine Gerade X und 

 nenne l, V ihre Conjugirten für C und C". 



Alsdann fällt l in E, V in E'. Da aber die Regelschaar, welche 11' l zu Leitlinien 

 hat, aus Congruenzstrahlen besteht, so entsprechen sich l, V in der collinearen Beziehung 

 zwischen E, E'. Mithin sind die Schnittpuncte der l, V mit G die unter 2. mit c, c' bezeich- 

 neten Puncte. Aber zugleich sind sie die Nullpuncte der Ebene Gl für die Complexe C, C". 

 Wenn X um den Punct e bewegt wird, so dass die Ebene Gk variirt, so beschreiben also 

 ihre Nullpuncte c, c' die projectivischen Gebilde, denen die j adjungirt ist, w. z. b. w. 



Um die adjungirte Ebeneninvolution J zu erhalten, ist analog zu verfahren. Zu 

 einem auf G variablen Puncte e gehören in C, C die Nullebenen E E' ; die der Projectivität 

 (E')7\(E) adjungirte Involution ist dann J. Zum Beweise nehme man einen zweiten Strahl 

 G 1 an, j\ sei ihm adjungirt. Wenn das Ebenenpaar E, E' aus G 1 die Puncte c 15 c/ schneidet, 



