o 3. Prof. K. Küpper: 



so sind dies die Nullpuncte der Ebene G x e für C, C", und j\ ist nach dem eben Bewiesenen 

 adjungirt der Beziehung (c/) 7\ (cj ; folglich ist die Ebeneninvolution, welche aus der Axe G 

 diey a projizirt, der Projectivität (E') 7\ (E) adjungirt; aber diese Ebeneninvolution ist J selbst. 



Im Falle die projectivische Beziehung (c') 7\ (c) involutorisch ist, sagen wir die Com- 

 plexe C, C sind in Involution. Es ist klar, dass diese Involution keine andere als j sein 

 kann, und hiezu genügt bekanntlich, dass nur ein Paar c, c' mit einem Paare c, y der j 

 übereinstimmt. 



Liegt die Congruenz r vor, so ist dadurch, dass man einer durch G gehenden Ebene 

 i? den Nullpunct c anweist, ein Complax C bestimmt. Indem man derselben E den Nullpunct 

 y gibt, hat man den involutorischen Complex C". Nun muss aber durch G eine @ existiren, 

 die in C den Nullpunct y, in C" hingegen c hat. Sei G^ ein zweiter Congruenzstrahl, der von 

 E, @ bez. in Cj, y t geschnitten werde; alsdann wird die Ebene G^c^F in C, C' die Null- 

 puncte Cj, y Y haben, während der (3^ = $ y 1 , c T als Nullpuncte in denselben Complexen zu- 

 kommen. Folglich wird c t , y 1 ein Paar der zu G 1 adjungirten j x sein, mit anderen Worten : 



„Sind die Complexe C, C' unserer Definition gemäss in Involution, 

 so gilt für jeden Strahl der Congruenz (CC'), dass die projectivische Be- 

 ziehung, welche zwischen den Nullpuncten seiner Ebenen für C,C besteht, 

 die ihm adjungirte Involution selbst ist." 



Achtet man darauf, dass in C die Nullpuncte c, y 1 zu 2?, g gehören, so erkennt man 

 die Geraden cc x , yy 1 als Strahlen von C, und beachtet man die Nullpuncte von S, F in C", so 

 sieht man, dass cc^ yy 1 conjugirte Gerade für C' sind, d. h. „Die Strahlen des einen 

 Complexes sind im anderen als conjugirte Gerade gepaart." 



Wenn überhaupt zwei Strahlen m, p eines Complexes C für einen 

 anderen C als conjugirte Gerade auftreten, so liegen C, C in Involution 

 Denn G sei ein C, C' gemeinsamer Strahl, der durch irgend einen Punct c von m, also auch 

 durch einen Punct y von (i gehen möge. Die Ebene G m = E hat jetzt in C, C die Nullpuncte 

 c, 7, während die Ebene G j* = (S dieselben Puncte zu Nullpuncten in C', C hat. 



5. Das Verhalten eines Büschels (C) von Complexen gegen einen nicht 

 zum Büschel gehörenden C . 



Wir betrachten die oo 1 Complexe C, für welche zwei gegebene Windschiefe D v D 2 

 "conjugirte Gerade sind. Jeder C liefert mit C eine Congruenz; die Directricen aller 

 dieser Congruenzen bilden eine involutorische Regelschaar. 



Beweis. Wenn D x , D 2 im Complexe C die Conjugirten © 15 £> 2 haben, so' gehören 

 diese vier Geraden einer Regelschaar S an, deren Leitschaar Z aus Strahlen besteht, die 

 sowohl in Complexe C als auch in der Congruenz (C) enthalten sind; ausser diesen gibt es 

 auch keine, welche der Congruenz und dem Complexe C gemeinsam sind. Diese gemein- 

 schaftlichen Strahlen müssen nun von den Directricen jeder der Congruenzen (C C) geschnitten 

 wecden. Sei daher D eine beliebige solche Schneidende, d. i. eine Gerade der S, £) die zu D 

 in C Conjugirte also auch zur /S gehörig, e irgend ein Strahl der Congruenz (C) ausserhalb 

 der Schaar 2, so hat der Complex C^, in welchem e vorkommt, und für den D, © conjugirte 

 Gerade sind, mit C die Congruenz gemein, deren Directricen in D, 33 vorliegen. 



