Strahhn-Complex und die Congruenz. g 



Specialfall: C ist ein singulärer Complex — die Gerade G. — Die 

 Conjugirten ® von G in den oo 1 Coinplexan C bilden eine G enthaltende 

 Regelschaar: 



Die Strahlen der Congruenz (C), welche G treffen, erfüllen eine Regelschaar 2. ® 

 sei eine willkührliche Transversale derselben; alsdann könnte nur eine solche ® zu G in 

 einem der Complexe C conjugirt sein; aber man kann einen der C dadurch bestimmen, dass 

 man ®, G als Conjugirte annimmt, und noch einen nicht in 2 befindlichen Congruenzstrahl wählt. 



Es lässt sich der Beweis auch durch Projectivität führen: Durch 2 beliebige Puncte 

 s, ť auf G mögen die Strahlen sx, s'x' der Congruenz (C) gehen. In einem C haben s, s' je 

 eine Nullebene E, E ; diese drehen sich, wenn C variirt, beziehlich um sx, sV, schneiden 

 sich in einer ©, welche eine Regelschaar beschreibt, weil {E') /\ (E): 



6. Bedeutet C irgend einen den oo 2 Complexe, welche eine gegebene 

 Regelschaar 2 gemein haben, C einen von diesen C verschiedenen Complex, 

 so sollen die Direetricen D, Z) aller möglichen Congruenzen (6' C) aufge- 

 funden werden: 



C enthält zwei Strahlen z/ 15 z/ 2 der Schaar 2. Denn ist T eine Transversale der 2, 

 Z ihr in C conjugirt, so kann Z nicht auch Transversale der 2 sein, weil sonst C mit 

 einem C identisch wäre, mithin trifft Z zwei Gerade der 2, und diese sind J 1} 4 2 . Wir 

 setzen ihre Realität voraus, andernfalls wäre die Theorie des linearen Complexes durch Zu- 

 lassung von imaginären conjugirten Geraden zu vervollständigen. Es ist ohne Weiteres klar, 

 dass C immer so gedacht werden kann, dass unsere Voraussetzung zutrifft. Nun müsste eine 

 der fraglichen Direetricen D sowohl ^ als 4, schneiden, Z) müsste ihr in C Q conjugirt sein. 

 Wird dies angenommen, so wäre der die Congruenz (C C) bestimmende G dadurch gegeben, 

 dass man D, Z) als Conjugirte nimmt, nebst einem von 4, d % verschiedenen Strahl aus 2. 

 Demnach sind die gesuchten Direetricen die Strahlen der Congruenz, deren Direetricen 4 

 4 2 sind. 



Specialfall. Ist C ein singulärer Complex G, so wird G ebenfalls von zwei Ge- 

 raden 4 aus 2 getroffen. Wenn alsdann ® eine beliebige Transversale der z/ bedeutet, so 

 existirt ein C, in welchem G, ® conjugirt sind; die Conjugirten G, ® nebst einem, von den 

 ^/ verschiedenen Strahl der 2 sind eben die Bestimmungsstücke dieses C. 



Hier ist dor Beweis, welchen die Projectivität an die Hand gibt, unabhängig von de.i 

 Realität der ^/: 



Auf G wählen wir die Puncte s, s' beliebig. Weisen wir s eine durch ihn gehende 

 Ebene E als Nullebene an, so ist damit ein C festgelegt, in diesem habe s' die Nullebene E'. 

 Auf diese Weise werden die Bündel (s), (s') collinear auf einander bezogen : Denn eine durch 

 s gedachte Gerade sx bestimmt mit 2 eine Congruenz, der ein durch s' gehender Strahl ť& 

 zukommt. Dreht sich jetzt E um sx, so muss E stets s'x' enthalten, und hieraus erhellt 

 auch, dass, wenn E durch ss' gelegt wird, auch E' diese Gerade enthalten wird, d. h. dass in 

 der vorliegenden Collineation G sich selbst entspricht. Wenn ® die Schnittlinie irgend zweier 

 homologen Ebenen E, E bezeichnet, so sieht man, dass G, ® in dem zugehörigen Complexe 

 C conjugirt sind. Mittels dreier Paare E, E habe man ® 15 ® 2 ® 3 abgeleitet, so ist durch G. 

 ® 15 ® 2 , ® 3 eine Congruenz bestimmt, durch welche (2) die Bündel (s), (s') collinear auf 



Mathematisch- naturwissenschaftliche Ciasee VII. 4. 2 



