■iq 5. Prof. K. Küpper: 



einander bezogen sind. Die Ideniität dieser Collineation mit der eben aufgestellten wird aber 

 sofort erkannt, wenn man die Bündel durch eine Ebene F schneidet. Nämlich in den beiden 

 in F auftretenden collinearen Systemen entsprechen sich einmal die beiden Dreiseite, welche 

 von den Ebenen E t , E 2 , E a und E x ', E 2 ' E 3 ' ausgeschnitten werden, sodann entspricht dem 

 Durchstosspuncte von G, F dieser Punct selbst, mithin ist in F nur eine einzige Collineation 

 vorhanden. 



7. «, ß seien zwei windschiefe Gerade, die in einem gegebenen Complexe C nicht 

 als Strahlen vorkommen; es sollen die Directricen der Congruenzen bestimmt werden, welche 

 C mit allen durch die Strahlen a, ß möglichen Complexen C {C x , C 2 oc) liefert. 



Wir wählen eine beliebige Ebene ©, — e sei ihr Nullpunct in C — und ermitteln die 

 in © befindlichen Disectricen 35 in folgender Weise: 2^ 2 2 seien zwei durch «, ß gelegte 

 Kegelschaaren. Nach 6. gibt es einen bestimmlen Complex C t , der 2 1 enthält und mit C 

 eine Congruenz liefert, wovon eiue Directrice 35 x in © liegt, während dann die zweite D x 

 durch e gehen wird. Durch die Schaar 2 3 sei analog C 2 , sowie 35 2 in © liegend, D 2 durch 

 e gehend, gefunden. Schneiden sich 35j, 35 2 in e, so ist e Nullpunct der Ebene D 1 D 2 = E in 

 den drei Complexen C , C x , C 2 und © wird in denselben den Nullpunct e haben. 



Jetzt fasse man die Congruenz (C^ C 2 ) auf, ihre Directricen müssen je eine durch e, 

 e gehen und beziehlich in ©, E liegen, sodann muss jede « und ß treffen. Bezeichnet C einen 

 ihrer <x> 1 Complexe, so muss die Congruenz (C C) zwei Directricen besitzen, wovon die eine 

 {D) durch e geht, in E liegt, die andere © in © liegt, und e enthält: Denn 3) werde 

 beliebig durch e in © gezogen, D sei ihr in C conjugirt, weshalb D in E fallen und e auf- 

 nehmen muss. Denkt man C variabel in der Congruenz (Cj C 2 ), so dreht sich die Conjugirte 

 D von 3) bezüglich C um e in E, und es wird bei einem gewissen C Coincidenz von D , 

 D eintreten. 



Hiernach erhält man durch Benutzung der ebengenannten <x> x C als Directricen in © 

 die durch e gehenden Geraden 35, die zugehörigen D erfüllen in E den Strahlenbüschel (e). 

 Dass es überhaupt ausser diesen C keinen anderen durch a, ß gehenden Complex gibt, der 

 mit C n zusammengenommen eine in © fallende Directrice liefert, folgt also: 



Eine zu a und ß windschiefe Gerade y, die weder in Z 1 , noch in Z 2 liegt, führt zur 

 Schaar a ß y oder 2. Nun existirt (6) ein einziger Complex, der die 2 zu Strahlen hat, und 

 mit C eine Congruenz bildet, von welcher eine Directrix in © liegt, aber in der Congruenz 

 (Cj C 2 ) deren Directricen auf a und ß stehen, kommt ein C vor, welcher den Strahl, y, somit 

 die Schaar 2 enthält. 



Um endlich sämmtliche im Räume auftretende Directricen zu übersehen, halte man 

 die Schaaren 2„ 2 2 fest, bezeichne mit (2^ 2 2 ) die Congruenz, welche beide zu Strahlen hat. 

 Vom Complexe C enthalte 2 1 die Strahlen ^//, A 2 '\ 2 2 die ^/ x ", J 2 ". Diese Geradenpaare 

 liegen hyperboloidisch, weil die Congruenz (2 1 2 2 ) mit C eine Regelschaar gemein hat. Die 

 zuerst in © gefundenen Directricen 3^, 3) 2 sind nichts anderes, als die Transversalen über 

 ^■ii -4/ lin, i ^i") ^ 2 "> ebenso sind D,, D 2 die von e aus über die nämlichen Paare möglichen 

 Transversalen. Was aber für die Ebene © — oder den Punct e — gilt, findet in gleicher Weise 

 für jede Ebene und jeden- Punct des Raumes Statt, und wir gelangen zu dem Resultat: 



