A 5. Prof. K. Küpper: 



Wenn v seinen kleinsten Werth n — 1 annimmt, so wird zwar v . (2 n — 1 — v) ein 

 Maximum, ich behaupte aber, dass h nie unter die Grenze (n — 1) n herabsinken kann : Denn 

 bei der Voraussetzung h^(n — 1) ra, ist wegen der Primitivität der G™ stets eine C" -1 durch 

 die Gruppe möglich, wie dies eine einfache Anwendung des unter IV. 3. hervorgehobenen Satzes 

 lehrt. Nämlich nimmt man i gemäss: 2« — 4+1 — »" = « — 1, d. h. i = n — 2, so brauchte 



eine C"* -1 nur h — ( w )( n der qQ) au f zune hmen, damit auf sie die ganze Gruppe 



falle. Diese Differenz überschreitet aber den Werth o nicüt ' sobald h höchstens 



( n \) r n _i_ 2) 



= ( K — i) n werden soll, und durch ^ v> > ~ ' oder weniger Puncte ist immer eine 



C" -1 möglich. Mag dann die C* -1 , welche die Curve niedrigster Ordnung durch die D sein 

 wird, zerfallen oder irreducibel sein, es kommt die Ungleichung, 



h ^ (2n — 1 — v . v) 

 nach IV. 3. zur Geltung, welche für v = n — 1 aussagt ; dass h überhaupt nie unter den 

 Werth (n — 1) n herabsinken kann. Ferner wäre diese untere Grenze nur durch eine auf 

 einer C"" -1 vorkommende G ( £_ 1)n erreichbar. Mit Benützung von IV. 2. finden wir auf einer irre- 

 duciblen C" -1 alle solche Gruppen in dem vollständigen Schnitt der C 1-1 mit einer will- 

 kührlichen C" (ra = 2 ra — 4 -f- 3 — n + 1). Durch die G^^ gehen noch co 3 Curven C, eine 

 irr educible Mannigfaltigkeit deshalb, weil ein allen <T gemeinschaftlicher Bestandtheil auch 

 in C 1-1 sein müsste, was durch die Irreducibilität der C" -1 ausgeschlossen ist. 



Zudem ist ff^, eine Basis grösster Punctzahl für co s C" (v. III. Aufgabe), von 

 welchen je zwei sich ausserhalb der Gruppe in n in gerader Linie liegenden Puncten schneiden. 



Wie man mit Hülfe zweier Büschel der C" eine C 2 " construiren kann, welche die 

 ®~nli—i) zu Doppelpuncten D hat, bedarf hiernach keiner Auseinandersetzung, nur bleibt es 



fraglich, ob man auf diese Weise (projectivisch) j ede ß 2 " erzeugt mit den Doppelpuncten D. 

 Aufschluss hierüber gibt Nachstehendes: 



1. Die Raumcurve 9i 2 " als deren Centralprojection eine solche S 2n erscheint, muss auf 

 einer Fläche 2 im Grads g 2 liegen, und deren sämmtliche Geraden zu w-punctigen Se- 

 canten haben. 



Diese Aussage würde unzweifelhaft sein, wenn sich herausstellte, dass der Vollschaar 

 gf^, welche die von allen Flächen g 2 aus 9i 2B geschnittene Gruppen enthält, eine Mannigfal- 

 tigkeit x <; 9 zukommt. Zur Ermittelung des x dient uns die projicirte Vollschaar auf S 2 " 

 deren Mannigfaltigkeit dieselbe Zahl x sein muss. Nun hat man eine Gruppe der letzteren in 

 den 4 n Puncten, welche irgend ein Kegelschnitt C' 1 mit S 2 " gemein hat. Weil aber in C s und 

 C" -1 einer der C~ 2 adjungirte C^ +1 vorliegt, so wird bekanntlich die in Rede stehende Vollschaar 

 von den überhaupt existirenden <x>" adjungirten C" +1 ausgeschnitten. Beachtet man jetzt die Schaar 

 ,9^-1) welche diese C n+1 auf C" 1-1 liefern, so besteht eine Gruppe derselben ersichtlich aus 



