Uiber algebraische Curven auf die Theorie der Baumcurven. 5 



den n — 1 Schnittpuncten einer Geraden L mit C 1-1 , da L nebst einer der co 3 C eine C" +1 

 bildet; daher folgt y = 2. Durch jede Gruppe der g^ gehen aber noch co 6 Curven C"" 1 " 1 ; 

 mithin x = 8. 



Wenn hiernach 9i 2B auf g 2 liegt, deren Gerade je*, l)=punctige Secanten der Curve 

 seien, so bestehen die Gleichungen: 



$ + n = 2 n 



li| - iI + 1 (^- iI = (?i _ 1)H) 



■welche r. = 1) — « 



zur Folge haben. 



Für S 2 " leiten wir unmittelbar die Folgerung ab. Sie besitzt zwei verschiedene 

 Schaaren g„\ Q^, deren Gruppen paarweise auf den Tangenten des Kegelschnitts £ 2 vor- 

 kommen, welcher die Centralprojection der g 2 ist. Eine Tangente T möge von je einer Schaar 

 die Gruppen G und ® tragen. Da T mit C" -1 eine der £ 2K adjungirte <T ausmacht, so hat 

 man in den w 2 Puncten D, G die Grundpnncte eines Büschels (C*), durch welchen man g ) | 1) 

 ausschneiden kann, und analoges gilt für g^\ Ist p ein zu G gehöriger Punct, so gibt es 

 auch eine ®,, in welcher p sich befindet, und es muss diese ®, offenbar auf die Tangente 

 von 6 2 fallen, welche T in p schneidet, also haben G, ® s ausser p keinen Punct gemein, 

 woraus die Verschiedenheit der Schaaren erhellt. 



Wie man sieht, liefert jede Gruppe der einen Schaar einen Büschel (C"), welcher die 

 andere ausschneidet. Damit wäre die projectivische Erzeugung der Ě 2 " anf die eben ange- 

 gebene Art dargethan, und die aufgeworfene Frage entschieden. 



B) Die Raumcurve R 2n mit (n — 1) n -f- 1 scheinbaren Doppelpuncten. 



1. Construction einer ebenen C 2 " mit (n — l)n-{-l Doppelpuncten D, 

 welche bezüglich c 2tt_4 eine primitive G^^^ darstellen. 



Wird eine derartige Gruppe vorausgesetzt, so ist durch sie eine Curve C v (vO) 

 unmöglich; denn 



v i 2 n ^ 2 (n — 1) n -f- 2, 



oder v^.n — 1. 



Durch Gebrauch des Satzes in IV. 3, indem man 



m = 2ti — 4, 2 n — 3 — i — n 

 nimmt, ergibt sich, dass durch die D noch <x> 2 C™ gehen werden. 



In der Aufgabe unter III. a. 0. haben wir auf einer irreduciblen (f 1 eine Gruppe 

 nachgewiesen, bestehend aus der grösstmöglichen Anzahl von Puncten, welche die Basis eines 

 Netzes von Curven C" haben kann. Diese Anzahl war (n — 1) n -f- 1 — h, und je zwei Netz- 



