Uiber algebraische Curven auf die Theorie der Baumcurven. 7 



man eine involutorische Transformation der Ebene, deren Grad v sich leicht bestimmen lässt, 

 Einer Geraden A entspreche eine C", so muss diese jeden -D-nfach enthalten, da die F, zu 

 welchen D gehört, wie wir sahen auf einer Netzcurve liegen. 



Wir nehmen eine zweite Gerade A u und zählen die gemeinschaftlichen v 2 Puncte der 

 beiden Curven C C" wie folgt, auf: 



Die Gruppe r, welche den Schnittpunct Ä, A l enthält, liefert n — 2 derselben. 



Die D ergeben deren n 2 (n 2 — n + 1). 



Die v Schnittpuncte von C A i gehören zu v Gruppen JP, in welchen auch die v 

 Schnittpuncte von C", A vorkommen, deren übrige v (n — 3) Puncte noch den C", C[ ge- 

 meinsam sind, überdiess können sie keinen Punct gemein haben; also: 



v a_ („ _ 3) v _ „ _j_ 2 = n 2 (n 2 — n -f 1), 



eine Gleichung, deren positive Wurzel =n 2 — 1, dem Grade der Transformation. 



Auf einer beliebigen Geraden T liegt eine einzige Gruppe T: Entspricht nämlich 

 einem auf T angenommenen Puncte x { die C?, so schneidet diese T in einnr Gruppe, und es 

 wird jede durch diese r gelegte Netzcurve mit T noch ein Punct x gemein haben, dem sie 

 offenbar entspricht. 



Durch zwei Gruppen r i5 r 2 ist eine C" bestimmt, die auch den Schnittpunct x t 

 der Geraden T",, T 2 enthält, auf welchen die Gruppen sind. Alle durch die D, f,, r 

 möglichen C n+1 müssen x t enthalten, und bilden eine irreducible Mannigfaltigkeit, wenn C n 

 irreducibel ist. Denn diese C" +1 umfassen die Curven, welche aus der Geraden T r und jeder 

 C" bestehen, die dem irrreduciblen Büschel entnommen wird, dessen Grundpuncte in den D nebst 

 r 2 vorliegen ; ebenso sind unter den C" +1 unendlich viele, welche in T 2 und eine irreducible 

 CT zerfallen. Hieraus erkennt man (II) die behauptete Irreducibilität, zugleich auch dass 

 der Punct xi auf den C n+X liegen muss, weil eine solche ausser zy, F 2 nur noch einen 

 Pnnct mit C^ gemein hat, der nicht beweglich sein kann, die von uns aufgefassten zerfallenden 

 C*" 1 " 1 aber offenbar x ( enthalten. 



Die -D, ferner drei beliebige Gruppen r u r 2 , r É , nebst den Schnittpuncten ihrer 

 Geraden 7\, T„, T { sind die (n~{-i) 2 Grundpuncte eines Büschels (C" +1 ). DenndieOT?, welche 

 r„ r 2 verbindet, macht mit T ( eine C" +1 aus, welche die genannten (w-j-l) a Puncte 

 enthält, in gleicher Weise kann man zwei andere C +1 aufstellen. Wenn wir nunmehr C^, 

 die wir irreducibel voraussetzen und/ 1 !, r 2 festhalten, r ( aber variabel auffassen, so werden 

 die C", welche jede r,- mit r t verbinden, einen Büschel (CF) 1 liefern, und ebenso erhalten 

 wir einen zweiten Büschel (C") 2 , welchem die Grundpuncte .T 2 zukommen. 



3. Bezeichnen wir die eben definirten Büschel projectivisch aufeinander, so erzeugen 

 sie eine C 2 ", für welche jeder D ein Doppelpunct ist als geometrischer Ort der variablen Fi- 



