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5. Prof. K. Küpper: 



Hiernach wäre n der kleinste für v zulässige Werth. Bei dieser Annahme wird zwar 

 das Product v(2n — v) möglichst gross, nämlich =n 2 ; jedoch kann h überhaupt nie kleiner 

 als n" werden. Denn die Voraussetzung h^n" 1 hat zur notwendigen Consequenz die Existenz 

 einer CT, auf welcher die G™ sich befindet. Der Satz unter IV. 3. besagt, wenn man i = n — 2, 



m = 2 n — 3 nimmt, dass eine C 1 die Gruppe ganz enthält, wenn nur h ^ 



Gruppenpuncte auf ihr sind, eine Differenz, die den Werth g ■ — 1 nicht überschreitet, 



wofern h höchstens =« 2 werden darf; und durch — J~ 1, oder weniger Puncte ist 



immer eine, (sogar oo 1 ) C" möglich. Mag nun die C, welche die G^ trägt, irreducibel 

 sein, oder nicht, es besteht die Ungleichung h 5í v (2 n — v) für v z= n, das heisst h ^ n z : 

 Die unterste Grenze n 1 erreicht man aber nur bei einer G^\ die wirklich auf einer C" sich 

 befindet. 



Mit Hülfe von IV. 2. finden wir auf einer irreduciblen C n alle solche Gruppen in 

 dem vollständigen Schnitt dieser C* mit irgend einer anderen Curve gleicher Ordnung, das 

 heisst, als die n- Grundpuncte eines irreduciblen Büschels (Oi- 



C 2 " +1 habe die gefundene Gruppe G% zu Doppelpuncten Z>, und sei die Projection von 



B 2n+1 : Wir werden darthun, dass eine Fläche 2 te " Grads F 2 existiren mus, welche E 2n+1 auf- 

 nimmt. Es geschieht dies durch das schon zweimal gebrauchte Verfahren, indem wir die 

 Mannigfaltigkeit x für die Vollschaar suchen, welcher die von den Kegelschnitten C 2 auf C 2n+1 

 bestimmte co 5 Schaar angehört. Hiebei ist zunächst die Schaar g™ in's Auge zu fassen, die 



vom Büschel (C") 1 auf C 2n+1 herrührt. Ist G 1 eine Gruppe derselben, so zeigt sich, dass 

 ihre n Puncte in einer Geraden L x liegen müssen. Wir verbinden zwei dieser Puncte p, g 

 durch eine Gerade L 1 , und beweisen, dass ein beliebiger 3 íei ' Punct ?• auf L x fällt. 



Hier stützen wir uns auf den bekannten Satz, dass jede adjungirte C 2n+1 ~ s , welche 

 n — 1 Puncte von G x hat, auch den fehlenden r aufnimmt. Denkt man demnach durch die 

 n — 3 nicht bezeichneten Puncte der G x ebenso viele Gerade, wovon keine r enthält, so 

 machen diese mit L t und einer Curve des Büschels (C\ eine solche c 2 "~ 2 aus; mithin 

 muss L x den Punct r enthalten. 



Wir dürfen ferner unterstellen, dass die C" , welche G y ausschneidet, irreducibel ist. 

 Ein willkührlicher Kegelschnitt C a mit C[ zusammengenommen liefert eine adjungirte (T^ 2 , 

 also wird die fragliche Vollschaar durch die cc* adjungirten C l+2 erhalten, auf welchen G 1 

 sich befindet. 



Aber jede dieser C l+2 hat mit C[ noch n variable Puncte gemein, welche in gerader 

 Linie L liegen, weil die D und G 1 den vollständigen Schnitt von C[ mit einer C" +1 dar- 

 stellen. Sonach ist die Beweglichkeit jener n variablen Puncte = 2 ; und folglich x = 2 -f- 6 



