Über algebraische Curven auf die Theorie der Raumcurven. \ \ 



die gesuchte Mannigfaltigkeit der C" +2 . Ginge aber durch B? n+1 keine der oo 9 F 2 , se niüsste 

 x mindestens = 9 sein. 



Wenn endlich die Geraden der F 2 , worauf fi 3n+1 ist, r-, t)-punctige Secanten sind, 

 so hat man 



? + \) = 2n + 1, 



je (r — 1) . t) 0) — 1) 2 , . t . , 



JL - L 2 — + -j — = n ! d- 1 5 = «1 l) = n + 1. 



Demzufolge besitzt C 2 " +1 eine 5/^, und eine g^ +1 , die gleichzeitig von den Tangenten 

 eines gewissen Kegelschnittes & 2 ausgeschnitten werden. Die Identität der erstgenannten 

 Schaar g^ mit der von uns ebenso bezeichneten, ist leicht einzusehen. Man braucht nur zu 



zeigen, dass eine C", die von einer Gruppe G nur einen Punct p enthält, jeden andern Gruppen- 

 punet enthalten muss, was eine sich von selbst verstehende Anwendung des bereits ange- 

 führten Satzes über die adjungirten c 2n+1 ~ 3 unmittelbar ergibt. 



Eine pi'ojectivische Construction der C 2 "^ 1 wird folgendermassen gewonnen. 



Trägt die Tangente L x der S 2 die Gruppe G x von g^ und die G\ von g™ , so be- 

 merkt man, dass g^ sich durch einen Büschel (C" +1 ) ausschneiden lässt, zu dessen Grund- 

 puneten die n-\-\ Puncte der G[ gehören. Nämlich in L x und einer C von (C \ hat man 

 eine adjungirte C""*" 1 ; so dass die Basis des Büschels (C" +1 ) besteht aus den n 2 D, den n-\-\ 

 Puncten G[ und einer beliebigen Gruppe der g^\ Indem man sodann g^ sowohl mit dem 

 Büschel (C p! ) 1 , als mit (C n+1 ) ausschneidet, tritt unmittelbar die projeetivische Erzeugung der 

 C 2n+1 zu Tage. 



D) Die Raumcurve lť +1 mit « 2 + 2 scheinbaren Doppelpuncten. 



Construction einer ebenen Curve C 2n+1 mitn 2 -\-2 Doppelpuncten D, 

 welche bezüglich C 2n ~ 3 eine primitive Gruppe G ( ^ +2 bilden sollen. 



1. Gesetzt, eine solche G^' liege vor, dann ist durch dieselbe eine Curve von nie- 

 driger als der n tm Ordnung unmöglich, weil schon (n — 1) (2ra -f- 1) < 2 (w 2 -f- 2), 



Somit ist der Satz (IV. 3.) anwendbar, dass eine c 2n ~ 3+1 ~^, («'<«), welche 



der D enthält, die Gruppe vollständig aufnehmen muss. 



Dies gibt für i = n — 3 : G^ liegt auf jeder durch 



„aj_ 9 (*-3)(n -2) _ (n + l)(« + 4) „ 



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