4 7. Prof. K. Küpper: 



Eine primitive (?£' für CT liegt normal gegen C™" 1 " 1 , und somit eben- 

 falls gegen Curven höherer Ordnung. 



Beweis. Wir entnehmen der Gruppe irgend welche Q — 1 Puncte a, der übrig- 

 bleibende sei b: Dieser wird jetzt allen durch die a möglichen CT gemeinsam sein. Dagegen 

 muss durch Q — 2 der a eine C^ möglich sein, welche weder den fehlenden a., noch auch b 

 enthält, weil je Q — 1 Gruppenpuncte normal für CT sind. Da nun in dieser CJ" nebst einer 

 durch a. gezogenen Geraden eine nicht durch b gehende C™" 1 " 1 erhalten wird, da ferner die 

 Q — 1 Puncte a sowohl normal gegen C", als gegen C" +1 sind, so entsteht, wenn man ihnen 

 b zugesellt, wieder eine normale Gruppe bezüglich C m+1 - 



Besonders wäre hervorzuheben: 



Weil jede anormale Gruppe eine primitive GW einschliesst, so müssen anormale 

 Gruppen kleinster Punctzahl jederzeit primitiver Art sein, und den Excess 1 haben. 



2. Steht fest, dass eine für C" primitive G® wohl noch auf einer Curve n w 

 Ordnung (n^m), nicht aber auf einer C^i-z^n) liegen kann, so lässt sich eine untere 

 Grenze ihres Excesses für die C" - ' herleiten: 



Man entnehme der G^ß Puncte b, welche gegen C normal sind, was immer angeht, 

 da man ß beliebig klein denken kann ; alsdann müssen alle diese b auf jede C" -1 fallen, die 

 man durch die übrigen Q — ß Qruppenpuncte a legt: Denn wegen der normalen Lage der b 

 geht durch ß — 1 beliebige b eine O, welche den fortgelassenen b$ nicht enthält ; folglich 

 muss die genannte C"~' durch bj gehen. 



Nun kann man, ausgehend von den b innerhalb (r^ zu v ^ -f- 1 Puncten ge- 

 langen, welche sich normal gegen C' verhalten. Man lege nämlich durch die b eine C\ und 

 füge ihnen einen der Gruppenpuncte zu, den diese O nicht aufnimmt, so erhält man eine 



normale Gruppe von ß-\-l Puncten b. Ist ß -f- 1 <^ ^ , so lässt sich in gleicher Weise 



eine Gruppe von ß -f- 2 Puncten b aufstellen, u. s. w., bis man zu einer solchen von — ^ ■ 



b gelangt ist. Jetzt wäre durch diese b eine C* bestimmt, welche (wegen i<C n ) nicht die 

 ganze Gruppe G® aufnehmen wird, etwa B nicht. Kechnet man daher diesen B mit zu den 

 eben ermittelten b, so sind 



i(i ~\- 3) (i -4- 1) (i -4- 2) 



— 2 \- 1 j= — — — o ^ gefunden, derart, dass jeder ausserhalb der durch 



die übrigen bestimmten C' sich befindet. Weil aber diese b auf jeder durch die 



Q o a denkbaren C m ~ l liegen, so beträgt der Excess der G® be- 



züglich C™ -2 mindestens 9 Er wird diesen Werth überschreiten, oder 



nicht, je nachdem die a sich gegen C™ - ' anormal, oder normal verhalten. Dies lässt sich 

 unter Umständen entscheiden (v. Nb. 4). 



