Forlsetzung der Untersuchung über algebraische und JRaumcurven. fj 



Für den Beweis ist Primitivität der G^ unerlässlich ; bildet man aber eine blos anor- 

 male G Q dadurch, dass man der G^ einige Puncte zufügt, so gilt der aufgestellte Satz für 

 G Ql ebenfalls deshalb, weil dieser Gruppe für C" 1- ' kein niedriger Excess zukommen kann, 

 als der ursprünglichen G^\ 



3. Die anormalen G^ auf einer irreduciblen (Tin^m). 

 Wir setzen C" ohne vielfache Puncte voraus, um nicht jedesmal wiederholen zu müssen, 

 dass ein etwaiger vielfacher Punct der C zur Gruppe nicht zuzulassen ist. 



Betrachten wir zunächst den vollständigen Schnitt der C 1 mit einer C"\ Die Mannig- 



faltigkeit der durch diese mn Puncte gehenden CT ist ~ v* ~ " , und führt 



, , v (« — 1)0 — 2) 

 sofort zum Excess -7 -^ -. 



Von diesen mn Puncten sind immer wenigstens n — 2 durch die übrigen festgelegt, 

 weil eine Gruppe von weniger als n — 1 Puncten auf C" nicht beweglich sein kann. Hieraus 

 ist die Primitivität der Gruppe klar. 



Sollen nun irgend welche Q dieser mn Puncte sich anormal gegen CT verhalten, so 

 ist nothwendig und genügend, dass die anderen mn — Q Puncte einer C 1-3 angehören. 



Hierdurch wird dem Q, ein Minimalwerth Q 1 zugewiesen, welcher eintritt, wenn die 

 mn — Qj Puncte den vollständigen Schnitt von C l mit einer C~ 3 ausmachen. Also: 



„Die anormale Gruppe kleinster Punctzahl für CT wird ausC* durch 

 eine C^- n+s ausgeschnitten."*) 



Diese G™ ist nach Obigem primitiv, und hat den Excess 1. 



Nunmehr sei Q~> Q l =n(m — n -J- 3) ; es findet Folgendes statt : 



„Der Excess q für Gq beträgt um 1 mehr, als die Mannigfaltigkeit r der durch die 

 übrigen mn — Q= Q' Puncte möglichen C" -3 ; und wenn kein Gruppenpunct allen diesen C"~ s 

 gemeinsam ist, so wird G Q primitiv sein." 



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Beweis. Gehen durch G Q cc^ Curven C m , so ist : q = fi „ \- Q. 



Da die Schaar von Q' = mn — Q Puncten, b, welche die <xPCT aus C™ schneiden, 



auch von C* -3 aus schneidbar ist, so kann man mit Hilfe des Rieniann-Roch'schen Satzes 



ihre Beweglichkeit q' bestimmen. Nämlich: 



2 (g' — r) = 2 (mn — Q) — n(n — 3), folglich 



, , (m — n -f- 1) (m — n-4-2) 

 f* = 2 + — — 2 ' 



woraus durch eine kleine Rechnung sich q = 1 -\- r ergibt. 



Der zweite Theil der Behauptung folgt also : a } sei ein Gruppenpunct, C"~ 3 eine durch 

 die Q' = mn — Q Puncte b gehende, aj nicht aufnehmende C" -3 . Die durch Q — 1 Gruppen - 



*) Der Satz gilt auch für ji<;4, wobei C -3 ausfallt (v. B. 3). 



