Fortsetzung der Untersuchung über algebraische und Raumcurven. 7 



5. Die Theorie der Kaumcurven R m+i vom Maxinialgeschlecht, oder ihrer Projectionen 

 C m+i erheischt die Behandlung der Aufgabe: „Die Minimalgruppe Gr^ für CT zu finden, wenn 

 diese der einzigen Bedingung unterworfen wird, dass durch dieselbe eine C'(i<iri) un- 

 möglich sei." 



Einen Anhaltspunct zur Lösung bietet der von mir (B. III) bewiesene Satz: „Geht 

 durch die fragliche Gruppe eine C, so ist Q^ 5s m (m — n-\- 3), einerlei ob diese C" irre- 

 ducibel ist, oder nicht". 



Setzen wir nur voraus, die Gruppe solle höchstens n (m — n -\- 3) Puncte haben, und 

 zugleich 



1. m=:2n — 3, so zeigt sich, dass sie auf co'C* liegt, sonach nicht aus weniger 

 als n 2 Puncten bestehen kann. Also: Die Projectionscurve C 2n+1 muss wenigstens 

 n 2 Doppelpuncte D besitzen, die Grundpuncte eines Büschels C bildend. 



Setzen wir 2. m = 2n — 4, so ergibt sich, dass nicht nur eine C", sondern noch C 1-1 

 durch die Gruppe möglich ist; und dass sie deshalb mindestens n(n — 1) Puncte haben muss. 



Die etwa mögliche Projectionscurve C 2n müsste wenigstens 

 n(n — 1) Doppelpuncte D haben, und wenn sie so viele hat, so müssen 

 sie den Schnitt einer C" u. C" -1 darstellen. 



Um nunmehr die Existenz irreducibler Projectionscurven darzuthun, verfahre man 

 folgendermassen : 



Erstens. C 2n+1 . Wird eine irreducible C 2n+1 mit n 2 D angenommen, welche D die 

 Basis eioes Büschels ((7") sind, so beweise man zuerst die Irreduciblität dieses Büschels : Ein 

 Zerfallen sämmtlicher a^C" wäre aber nur in der Weise denkbar, dass die C" beständen 

 aus einer festen Curve C n ~ v , und einem irreduciblen Büschel C v , auf dessen Basis v 2 D 

 kämen, so dass C n ~ v n 2 — v 2 Puncte D enthielte. Hier ist nun 



(n — v) (2 v -f 1)< 2 (n 2 — v 2 ) ; 

 mithin wäre C n ~ v ein Bestandtheil der C 2n +\ welche doch irreducibel vorausgesetzt wurde. 

 Wenn sonach eine irreducible C* zu Grunde gelegt werden darf, um auf ihr die n 2 D zu 

 ermitteln, so ergibt sich ganz naturgemäss die projectivische Erzeugung aller denkbaren 

 C'2«+i ) w i e w i r s ie in diesen Abhandlungen (IV. B.) aufgestellt haben. 



Zweitens. Eben dort haben wir auch für O die n(n — 1) Doppelpuncte Z>, durch 

 welche sowohl eine C" _1 als eine C" existiren muss, auf einer als irreducibel supponirten 

 C" -1 bestimmt. Nun ist diese Voraussetzung nicht nöthig; aber die oo s durch die G^ n _ 1) 

 möglichen C" dürfen nicht alle reducibel sein, wenn die irreducible C 2n bestehen soll. 

 Denn andernfalls würde wie vorhin eine feste Curve C n ~ ", nebst co 3 C v auftreten, wobei 

 letztere eine irreducible Mannigfaltigkeit bildeten, der eine gewisse Anzahl der D als Basis 

 dient. Weil diese Basis höchstens v 2 —vD absorbirt (cf. B. III), so entfielen auf C n ~ v we- 

 nigstens n 2 — ii — v 2 -\- v D, und da 



2 (n 2 — n — v 2 -(- v) ^>(n — v) 2«, 

 so wäre C n ~ v ein Bestandtheil der C 2n . 



