3 7. Prof, K. Küpper: 



Schneidet man nunmehr aus einer irreduciblen C" durch irgend eine C" -1 die 

 Gruppe der D aus, so folgt ohne Weiteres die projectivische Construction für jede überhaupt 

 mögliche C 2n . 



6. Die Projectionscurve C 2n mit (n — 1) n -(- 1 D. 



Wir haben a. a. 0. B.) die Gruppe der D als eine primitive G™_ 1)n+1 bezüglich 

 C 2 "- 4 aufgestellt; es entsteht die Frage, ob dies nothwendig ist? Mit Hilfe des Riemann- 

 Roch'schen Satzes kann man blos das anormale Verhalten der D gegen die C 2 "-* folgern. 

 Sollen aber alle D ausschliesslich von scheinbaren Doppelpuncten der Raumcurve B? n stammen, 

 so lässt sich beweisen, dass die Gruppe primitiv sein muss. Man sieht leicht, dass durch 

 die D als anormale Gruppe wenigstens co 2 C" gehen, ein irreducibles Netz ausmachend: 

 Denn beständen diese C™ aus einer festen C n ~ v und einer irreduciblen Mannigfaltigkeit von 

 Curven C", v^>l, so könnten diese letzteren höchstens v 2 — v-\-l der D enthalten, die 

 übrigen, wenigstens w 2 — n — v 2 -\-v kämen auf C n ~ v ; und C n ~ v hätte allein in den 

 Doppelpuncten der C 2n mit ihr mehr als (n — v) 2n Puncte gemein, was bei einer irreduciblen 

 C 2n nicht angeht. Aus demselben Grunde ist die Annahme v = 1 nicht zulässig. 



Handelt es sich hiernach darum, auf einer irreduciblen C™ n(n — 1) -\- 1 Grund- 

 puncte D eines Netzes (C) anzugeben, so bieten sich zwei Möglichkeiten dar: Da, wie be- 

 kannt, jede Netzcurve ausser den D noch n — 1 Puncte mit C" gemein hat, die zugleich auf 

 die Strahlen eines Büschels (cc) fallen, dessen Centrum x auf C" liegt, so kann x entweder 

 mit einem der D, etwa -D 1 , coincidiren, oder nicht. Im letzteren Falle hätte man die pri- 

 mitive (t™ _ 1)+1 , welche unserer früheren Betrachtung B) zu Grunde lag. 



Gehen wir nun auf den Fall näher ein, wo x selbst ein Gruppenpunct D t ist, so 

 folgt sofort, dass durch die anderen D eine C" -1 existirt, d. h. dass in diesen D die Minimal- 

 gruppe Gr^^y vorliegt, und es ist klar, dass als D 1 irgend ein Punct der C[ dienen kann, 

 den man der G t ^ 1 ( ) M _ 1) zufügt. Es besteht dann Änormalität der D für C 2 " -4 , aber nicht mehr 

 Primitivität. Sind diese D Doppelpuncte einer C 2re , so ist vor allem einzusehen, dass die iž 2 ", 

 deren Projection C 2n ist, auf einer Fläche 2 ter Ordnung F 2 sich befindet. 



Zu diesem Ende bestimmen wir wieder die Mannigfaltigkeit der Vollschaar, in welcher 

 die von den C 2 der Ebene aus C 2 " geschnittene go b Schaar enthalten ist. Indem man C" zu- 

 sammen mit einer willkührlichen C 2 als eine der C 2n adjungirte C" +2 auffasst, findet man 

 diese Mannigfaltigkeit als diejenige der adjungirten C n+2 , welche mit C 2n die nämlichen 2n—2 

 einfachen Puncte gemein haben wie die C". Es kommt daher nur darauf an, die Beweglich- 

 keit der (re -j- 2) ra — n{n — 1) — 1 — 2n -(- 2 = m -j- 1 Puncte zu ermitteln, die eine solche 

 C" -1 " 2 ausser den festbleibenden noch mit CJ gemein hat. Schreibt man n -\- 1 = 2« — (n — 1), 

 so sieht man, dass die maximale Beweglichkeit von n -\- 1 Puncten 2 nicht übersteigt, sofern 

 n — 1^>2, od. n^>3. Die Annahme w^>3 ist aber dadurch schon geboten, dass das Ge- 

 schlecht der C 2n grösser als n — 3 sein soll. Hieraus geht alsdann hervor, dass jene Mannig- 

 faltigkeit den Werth 9 nicht erreicht, und demzufolge muss eine i^ 2 durch iü 2n gehen. Die 

 Voraussetzung, dass alle D von scheinbaren Doppelpuncten der R 2 " herrührten, hätte zur 



