Fortsetzung der Untersuchung über algebraische und Baamcurven. 9 



Folge die Existenz einer g^ auf C 2n von der Beschaffenheit, dass dieselbe durch adjungirte 

 C" ausschneidbar wäre (v. B.). Weil hier die Doppelpuncte mit Ausnahme des D 1 auf einer 

 C" -1 sind, so würde die g^ von den durch D 1 gezogenen Geraden ausgeschnitten, was nicht 

 möglich ist, da wegen des Auftretens einfacher Doppelpuncte das Projectionscentrum nicht 

 auf F 2 gedacht werden darf. 



Ganz anders verhält es sich, wenn D l allein von einem eigentlichen Doppelpuncte 

 der R 2n herrührt. Dann wären nämlich die Geraden der F 2 ohne Unterschied w-punctige Se- 

 canten von R 2n , wie dies die Gleichungen lehren: 



li£=il + l^zll + 1:=re(w _ 1) + 1 . 



Und auf C 2n erschienen 2 Schaaren g„\ deren Gruppen auf den Tangenten eines 

 Kegelschnitts lägen. Trägt z. B. die Tangente T die Gruppen &, ®', so ziehe man durch 

 Z>j eine Gerade L, welche C 2n in 2n — 2 Puncten s schneide. Man hat jetzt in C" -1 nebst 

 T und L eine adjungirte C^ 1 durch die G' gehend ; also würde die g%\ zu welcher & ge- 

 hört, durch die durch die Puncte s und ©' gehenden C" +1 erhalten. Offenbar bildet L einen 

 Bestandtheil dieser oo 1 Curven, und so folgt, dass g® durch diejenigen C ausgeschnitten 

 wird, welche durch die n(n — 1) D und die Gruppe ®' sich legen lassen. 



7. Der eingehenden Untersuchung der R 2 "^- 1 mit n 2 -j- 2 scheinbaren Doppelpuncten 

 hat die Erledigung der Schlussbemerkung unseres vorigen Aufsatzes voranzugehen. „Besitzt 

 eine C 2n +' L n 2 -\- 1 Doppelpuncte Z>, die für C 2n ~ 3 eine primitive Gruppe bilden, 

 so ist C 2n + 1 reducibel". 



Beweis. Wäre eine C" -1 durch die D möglich, so müsste diese, wie leicht zu sehen, 

 einen Theil der C 2n + 1 ausmachen. Existirt solche C n ~ 1 nicht, so gehen nach No. 2 durch die 

 D wenigstens oo 4 C" +1 . Es sind nun 2 Hypothesen zu machen: 



Die erste: Diese C™ +1 zerfallen sämmtlich in eine feste Curve (™+i — " und eine 



irreducible Mannigfaltigkeit von C v . Der Fall v =1 ist von selbst ausgeschlossen ; bei v = 2 



hätte C"~ 2 in den n 2 auf sie kommenden D mehr Puncte mit C 2n + 1 gemein, als es bei Irre- 



ducibilität sein kann: Ist v>2, so könnten die C v höchstens v 2 — (2v — 2) der D enthalten, 



wie sich zeigt, wenn man eine dieser C v festhält, und die Schaar betrachtet, welche die 



übrigen auf ihr liefern, der mindestens die Beweglichkeit 3 zukommen muss. Sonach entfielen 



auf C re + 1— * wenigstens: 



n 2 + 1 — v* -f- 2ir — 2 Ä 



Durch eine kleine Bechnung findet man 



(n + 1 — v) (2m -j- 1 ) — 2 (n 2 — v 2 -j- 2 v — 1)< 0, 

 wofern v zwischen 2 und n-\-\ gewählt wird, was sich ja von selbst versteht. 



Also wird wieder erkannt, dass die C" ! + 1 — '' ein Bestandtheil von C 2 ""^ 1 wäre. 



Zweite Hypothese. Unter den C 84 " 1 kommt eine irreducible vor, was die Irre- 

 ducibilität der ganzen Mannigfaltigkeit zur Folge hat. Je zwei C" +1 haben alsdann ausser 



Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe VIT. 4. 2 



