Fortsetzung der Untersuchung über algebraische und Raumcurven. U 



8. Die irreducible Projectionscurve C 2 ^ 1 mit n- + 2 Z>, welche sämmtlich von schein- 

 baren Doppelpuncten der R 2 ^ 1 stammen. 



Wir werden hier den Nachweis erbringen, dass die im vorigen Artikel (B. IV) ge- 

 gebene Construction für re^>4 absolut vorgeschrieben ist. Zuerst wäre die Gruppe der D 

 festzustellen. Es ist nicht zu übersehen, dass man mit Hilfe des Itiemann-Roch'schen Satzes 

 blos die Anormalität der D bezüglich C 2ns , nicht die Primitivität findet; in der That wird 

 letztere erst zur Nothwendigkeit, wenn kein D einem eigentlichen Doppelpunct der 

 ^2h+i entspricht. Mag aber die Gni+2 primitiv sein, oder die Minimalgruppe G 1 ^, oder die 

 primitive Untergruppe G n i +1 umfassen, stets gehen durch dieselbe wenigstens oo 3 OK 



a) Diese OH stellen eine irreducible 3fache Mannigfaltigkeit daj. 

 Denn, zerfielen sie in eine feste C n + 1 ~ v und in eine Mannigfaltigkeit irreducibler 



C", so könnten die letzteren höchstens um v 2 — v Puncte D beweglich sein, so dass 0+ 1— v 

 wenigstens ?i 2 + 2 — v 2 -\-v D enthielte. Schreibt man die Differenz : 



2(n 2 -\- 2 — v 2 + v) — 0+1 — *)(2» + 1) in die Form (* — v) (2v — 3) + 3, 

 so bemerkt man sofort, dass sie für die zulässigen Werthe von v (1 <^ v<[w + 1) positiv 

 wird ; d. h. dass G TC + 1— " schon in den D mehr als (n + 1 — v) (2ra + 1) gemeinsame Puncte 

 mit 0+ 1 hätte. 



b) Wenn hiernach die D auf einer irreduciblen C^ 1 liegen, so folgt leicht, dass 

 R 2n + 1 auf einer F 2 sein muss, indem man ebenso wie unter 6) schliesst: C 2n + X wird von 

 C^ 1 in (n + 1) (2n + 1) — 2ra 2 — 4 = 3n — 3 einfachen Puncten s geschnitten, und es wäre 

 die Mannigfaltigkeit der durch die s möglichen adjungirten C n + S zu bestimmen. Nun liefern 

 diese C n + S auf C^ 1 eine Schaar von 



(n + 3) 0+1) — »*— 2 — 3w + 3 = 2 (m + 1) — (n — 2) Puncten, 

 deren Beweglichkeit nicht über 2 steigt, sobald n — 2 > 2. 



Ist daher » ]> 4, so beträgt die Mannigfaltigkeit jener 0+ 3 weniger als 9, und durch 

 R 2n + 1 geht eine F 2 . Alsdann aber hat die Voraussetzung von« 2 + 2 scheinbaren Doppel- 

 puncten zur notwendigen Folge (B. IV) die Existenz einer g^ auf C 2n K, welche sowohl 

 von den Tangenten T eines Kegelschnitts, als auch von adjungirten C+ 1 ausschneidbar ist. 



Und hieran knüpfen wir die weitere Folgerung: 



Durch sämmtliche D ist eine C n unmöglich, noch können durch 

 n 2 D<x> 1 C existiren. 



Nämlich G' sei eine beliebige Gruppe der gW_ v auf der Tangente T' befindlich, welche 

 ausser G' noch n + 2 Puncte x der 0+ 1 enthält. Lägen die D auf O, so müssten durch 

 die r noch oo 1 0+ 1 möglich sein, durch welche die g^ ausgeschnitten würde. Da diese 

 0+ 1 aber die Gerade T zum Bestandtheil hätten, so gingen oo 1 C n durch die n 2 + 2D, was 

 wegen der Irreduciblität von C^ 1 nicht sein kann. 



Wären ferner n^D Grundpuncte eines Büschels (O), und gehörten D u D 2 nicht zu 

 diesen, so geht doch durch D y eine Curve des Büschels. Wir haben a. a. 0. gezeigt, dass 

 jede OK welche von einer Gruppe wie G' einen Punct aufnimmt, die Gruppe ganz enthält; 



2* 



