12 7. Prof. K. Küpper: 



somit müsste G' auf eine Gerade fallen, welche einen ihrer Puncte mit D 2 verbindet, ebenso 

 auf eine durch D t gehende Gerade, was unmöglich ist. 



c) Das Gesagte begründet den Ausspruch: 



„Wenn iž 2n + 1 (n ^> 4) n 1 -\~ 2 scheinbare Doppelpuncte hat, so gehören von ihren 

 Projectionen niemals n s -\-l einer C n an." Damit ist zugleich bewiesen, dass die Gruppe der 

 Projectionen primitiver Art sein muss, da sie weder die primitive Minimalgruppe Gv, noch 

 auch <t„2_|_i umfassen kann. 



Endlich erhellt hieraus die Nothwendigkeit bei der Construction der D und der 

 C 2M + 1 so zu verfahren, wie es in D) der vorigen Abhandlung geschehen ist. 



d) Die Annahme n = 4 verdient specielle Berücksichtigung. Befolgen wir auch hier 

 unsere Methode, um die 18 Z>, sodann die C 9 zu erlangen, wobei also die D nicht auf C 4 

 sein werden, so erkennt man sofort, dass durch die entsprechende Raumcurve iü 9 eine F 2 

 legbar ist. Nämlich die von den C 2 der Ebene auf C 9 bestimmte Vollschaar von 18 beweg- 

 lichen Puncten kann wegen des Nichtvorhandenseins einer adjungirten C 4 nicht Specialschaar 

 sein; und weil das Geschlecht der C 9 gleich 10 ist, so beträgt die Mannigfaltigkeit jener 

 Schaar 8. 



Im vorliegenden Falle gibt es aber eine Projectionscurve C 9 , deren 18 Doppelpuncte 

 einer C 4 angehören, nur geht jetzt keine F* durch die Ä 9 , denn die eben betrachtete Voll- 

 schaar besitzt als Specialschaar eine höhere Mannigfaltigkeit als 8. 



Bekanntlich ist diese C 9 der vollständige Schnitt zweier Flächen 3 ter Ordnung. 



9. Um den Weg vorzuzeichnen, auf welchem man zu neuen Besultaten gelangen kann, 

 wollen wir R 2n mit n (n — 1) -4- 4 scheinbaren Doppelpuncten und ihre Projection C 2n be- 

 handeln. Hauptsächlich werden wir diese Aussprüche rechtfertigen: 



a) Die n(n — l)-f4Z> sind die Basis einer vierfachen irreduciblen 

 Mannigfaltigkeit von 0+ 1 und eine primitive Gruppe für C 2 " -4 . 



b) Wenn n^6, so geht durch R 2n eine F 2 , deren Geraden. — 2- und 

 M-f-2-punctige Secanten der Raumcurve sind. 



a) Weil die D anormal bezüglich C 2n ~ i liegen, und weil wegen Irreducibilität der 

 C 2n eine Curve von niedriger als der n ten Ordnung durch dieselben unmöglich ist, so lässt 

 sich der Satz 2) anwenden. Er ergibt sofort für i = n — 5, dass wenigstens oo 4 C+ 1 durch 

 die D legbar sind. Zunächst ist nun einzusehen, dass diese C n + 1 nicht alle zerfallen können : 

 Denn geschähe dies in eine feste Curve C n + 1 ~ v und in eine irreducible Mannigfaltigkeit von 

 C, wobei selbstverständlich v = 1 ausgeschlossen erscheint, so wäre nur v ^ 2 zuzulassen. 

 Bei v z= 2 fielen auf 0+ 1 - 2 n (n — 1) -4- 3 der D, alsdann müsste aber diese C"- 1 einen Theil 

 der C 2n ausmachen. Ist v > 2, so wären als Grundpuncte der irreduciblen Mannigfaltigkeit 

 (C v ) höchstens v 2 — (2v — 2) D in Anrechnung zu bringen, so dass auf C" i + 1 — * wenigstens 

 n (n — 1) + 2 — v 2 -J- 2v B kämen. 



Aber die Differenz: 

 2n (n — 1) -f 4 — 2v 2 + 4v — 2w (n + 1 — v), d. h. 2 (n — v) (v — 2) 4- 4 

 ist positiv, daher müsste C n + 1 — v wieder Bestandtheil der C 2a sein. 



