Fortsetzung der Untersuchung über algebraische und Maumcurven . J3 



Mithin stellt sich uns die Aufgabe: Auf einer gegebenen irreduciblen C n + X eine ge- 

 eignete Gruppe der D aufzufinden! Ihre Lösung beruht einfach darauf, dass es erforderlich" 

 und genügend ist, wenn die Puncte, welche eine durch die D gelegte C 2n ~* noch ausserdem 

 mit C?+ a gemein hat, einer C'H- 1-3 angehören. Diese C" -2 würde sodann CJ+ 1 in weitern 

 6 Puncten (den Restpuncten R) schneiden, welche man umgekehrt beliebig auf CJ+ 1 annehmen 

 kann, um von ihnen ausgehend, die D zu erhalten. Hiebei kann man offenbar so verfahren: 

 Durch die R lege man irgend eine C 3 , die nebst einer C n ~ b (n ^> 5) eine C n ~ 2 darstellt. Nun 

 würde eine durch die (« — 2) (n -(- 1) — 6 Schnittpuncte gehende C 2 »—* die D ausschneiden : 

 Da hier die C 2 "- 4 den vollständigen Schnitt von CJ+ 1 und C" -5 enthält, so muss durch D 

 und die auf C 3 entfallenden 3 (n -\- 1) — 6 Schnittpuncte noch eine C 2 *- 4 -*»-»), d. i. 0+ 1 

 möglich sein. Mit andern Worten: Die Schaar, welche von allen durch die D existirenden 

 0+ 1 aus CJ+ 1 geschnitten wird, ist identisch mit derjenigen, welche die durch die 6 R leg- 

 baren C 3 liefern. Sie hätte somit die Beweglichkeit 3, wenn es feststände, dass mehr als 4fi 

 nicht in gerader Linie angenommen werden dürfen. In der That lässt sich die Unvereinbar- 

 keit einer solchen Annahme mit der Irreducibilität von C 2n darthun: 



Erstens. Befänden sich alle R auf der Geraden i n so füge man zu dieser eine 

 C 2 , dann müssten die 2n-\-2 Schnittpuncte von Cl+ l und C 2 nebst den D noch einer 0+ 1 

 angehören, folglich gäbe es durch die D eine C"- 1 , was ein Zerfallen der C 2n nach sich zöge. 



Zweitens. Fünf R seien auf L 1} einer (ÄJ nicht. L i trifft CJ+ 1 in n — 4 Puncten 

 /, und eine um R t sich drehender Strahl L schneidet CJ+ 1 in einer Schar g£\ Indem man 

 L x mit L und einer willkührlichen Geraden der Ebene als C 3 auffasst, bemerkt man, dass 

 diese g<£> durch Curven C n ausgeschnitten wird, welche die D und jene / enthalten und die 

 zusammen n 1 ausmachen. Auch sieht man sofort, dass der hier auftretende Büschel (O) irre- 

 ducibel ist, wenn man die Beschaffenheit der g£> beachtet. 



Gesetzt CV» sei eine irreducible der co 1 Curven, C 2n habe die D zu Doppelpuncten, 

 so behaupte ich, C 2n hat in jedem / zwei vereinigte Puncte mit Cj" gemein : Zunächst ist 

 klar, dass irgend 2 von C t n verschiedene Curven unseres Büschels (t>) eine C 2n zusammen- 

 setzen, für welche das Gesagte stattfindet. Und man wird weiter schliessen, dass die etwa 

 möglichen C 2 " eine Schaar aus Cy schneiden würden, von welcher die doppelt gerechneten / 

 eine Gruppe bilden. Es gibt aber auch keine zweite Gruppe, wie unmittelbar aus dem be- 

 kannten Restsatz hervorgeht. Nämlich, die Gerade L u doppelt genommen, stellt eine Linie 

 2 ten Grads dar, welche die vorliegende Gruppe enthält, sie trifft Cj" in einem Rest von 2 . 4 

 Puncten, durch welche offenbar keine zweite C 2 denkbar ist. Hiermit ist die Behauptung 

 erwiesen: Da nun an die Stelle von Cp eine andere Büschelcurve treten kann, so folgt, dass 

 die C 2n alle n — 4/ zu Doppelpuncten haben, und mithin in je zwei C" zerfallen 

 müssen. 



Die Existenz einer irreduciblen C 2n bedingt also die einer genau 4fachen irreduciblen 

 Mannigfaltigkeit adjungirter C M + 1 , und zugleich ist durch dieselbe die Construction der D 

 vorgeschrieben. 



„Auf C?+ x nehme man 6 Puncte R an, von denen keine fünf in gerader Linie liegen, 

 führe durch die R eine C 3 und durch den ferneren Schnitt von C 3 , Q+ 1 eine C'H- 1 , so liefert 

 diese die Gruppe der D. u 



