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Es handelt sich nun darum, die trigonometrischen Diffe- 

 rentialformeln zum Integriren einzurichten; — das Verfahren, 

 dieses für jede Combination von m und r rücksichtlich ihrer 

 Werthe und Zeichen zu bewerkstelligen, möge der Gegenstand 

 der folgenden Paragraphe sein. 



§.4. 



Unter der Voraussetzung, dass m eine ganze positive Zahl 

 ist, finden wir die Differentialformel : dy = w n (1 — w 3 ) M dw 

 nach Entwicklung der angezeigten Potenz unmittelbar integrabel. 



Setzt man nun einmal w === sin cp 



und ein anderes Mal w — cos cp, 

 so verwandelt sich die gegebene Differentialformel im ersten 



Falle in 



dy — sin n (p cos 2 " 1 * 1 f.dfj 



hingegen im zweiten Falle in 



dy = cos n f sin 2 " 1 * 1 cp d f. 



Die letzt erhaltenen Differentialformeln sind also , die eine 

 durch die Substitution sin<p = w, die andere durch die Substitu- 

 tion cosf == w sehr leicht zum Integriren einzurichten. 



Der daraus abgeleitete Grundsatz möge nun folgendermas- 

 sen lauten : 



Ist im Zähler eine der Functionen mit einem 

 ungerade n Exponenten behaftet, so führt die Sub- 

 stitution: Cofunction = w zum Ziele. 



Beispiele* 



1) Es sei dy = sin ,J cp cos y cp df. 



Da hier die Function Sinus einen ungeraden Exponenten 

 hat, so wird man die Cofunction des Sinus nämlich cos cp = 10 

 setzen, wodurch man erhält 



dy — — w 7 (1 — zv 2 ) k dw. 



2) S ei dy = sin f cp cos 13 <p dy, 

 sie übergeht, wenn man sin<p = w setzt, in 



dy — (1 — iv n ') G w'' dw u. S. w. 



