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Es sei m eine ganze positive, n hingegen eine beliebige 

 Zahl, "so ist ohne Anstand folgende Differentialformel integrabel: 



dy — w n (l + w 2 ) m dw. 



Für iv= tang y, wird dw = - d J z ~ und daher 



cos' 



" ,»+2m42 COS <f 



Was auch immer n sein mag ist der Unterschied zwischen 

 in! und n eine ganze gerade Zahl. Ist n eine positive Grösse, 

 so ist mit Rücksicht auf die Hypothese über in der Exponent 

 des Nenners höher als der Exponent des Zählers. 



Ist aber n negativ, so hat man, wenn w>2m + 2 



n — 2 m — 2 . 

 , COS m &<a 



a Sin n <a 



Ist w<2» + 2, so wird 



d(p 



dy 



. „ 2»i-f2 — u 



sm n (? cos 



Bei genauer Betrachtung der in diesem Paragraphe abge- 

 leiteten trigonometrischen Formeln sieht man, dass die beiden 

 Functionen Sinus und Cosinus entweder vertheilt sind im 

 Zähler und Nenner, oder es kommen beide im Nenner vor. 



Für den ersten Fall, wenn die Functionen theils im Zähler, 

 theils im Nenner vorkommen, ist der Exponent im Nenner höher 

 als der im Zähler, beide Exponenten sind mit willkürlichen n 

 zugleich gerad , zugleich ungerad oder zugleich gebrochene 

 Zahlen, doch immer so, dass der Unterschied der Exponenten 

 eine gerade Zahl wird. 



Für den zweiten Fall, sind die Exponenten auch zugleich 

 gerade oder ungerade, oder gebrochene Zahlen, doch immer so, 

 dass ihre Summe eine gerade Zahl ist. 



Der hieraus abgeleitete Grundsatz lautet im Kurzen fol- 

 gendermassen: 



Ist der Exponent im Nenner höher als der Expo- 

 nent im Zähler und ihre Differenz eine gerade 



