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§. 27. Was ist also die Grösse ü? die Thatsache, dass 

 sich innerhalb der Function A die Grösse &V^Ä vom Loga- 

 rithmus x' rechnungsmässig abgesondert hat, scheint schon min- 

 destens einigen Zweifel zu erwecken , ob & doch noch ein 

 Logarithmus sei, und gibt damit auch der Möglichkeit vom 

 Gegentheile Raum. Indess während diess nur Ungewissheit 

 weckt, so lässt sich von andern Seiten her direct erweisen, 

 wie das ^ gegenüber x' unter eine andere davon ganz hetero- 

 gene Grössensorte fällt. Beweis dessen ist die Organisation der 

 Reihe 16, deren Eigenthümlichkeit auf folgendem Weg erkannt 

 werden kann: Es ist nämlich eine der elementaren Formeln des 



Differentialcalcüls, dass d tanq x = s- ist, woraus man dx 



7 a COS X 4 ' 



— cos x % . d tang x erhält. 



Nun aber hat man, rein nur durch Rücksichten auf Ver- 

 hältnisse absoluter Grössenwerthe die Relation cos x .sec a?=l, 



also cos x z = 5 ; und weil auch in ffleichem Sinn sec x z =\ + 1q x % 



sec x A1 y * 



. d • to x 



ist, so geht dx — - — -. — ? hervor. In dieser letzten Form kann 



7 ° l+tgx* 



man zur Abkürzung tgx=a setzen, denn es ist durch tg x 

 nicht mehr als der absolute Werth der Tangente indicirt; wel- 

 chemgemäss dann x = arctg(_ = x) = arctg a wird, wodurch 



da. 

 man die bekannte Gleichung d.arctaa = ^ erhält. 



3 J l + a 3 



Aber das Glied rechts lässt die Verwandlung in eine Reihe 

 zu, indem man der Gleichung 



-^•=(l + a 2 )- 1 =l- a ä + a (t — a« + cL 8 -a [0 + .. . 

 l + a" v J 



gemäss, die eben erhaltene Reihe darin substituirt. Wird diese 

 Substitution wirklich gemacht, so hat man die Gleichung 

 d . arc tg a = (1 — a 2 + a. k — a 6 + cc s — a i0 + u. s. f.) dx 



— da. — ofda + a}dct — oc 6 da - 



j 



aus welcher dadurch, dass man auf beiden Seiten integrirt, die 

 weitere Gleichung folgt. 



arctg<x=oc — — a° + 7 « 5 + -«'+ u. s. f. , 



ö o T 



oder auch « — y a 3 + — a 5 — — a 7 + u. s. f. = arc -tga, 



