4 4. Prof. K. Küpper. 



nächst gar nicht abzusehen, wie man zu Q Puncten gelangt, wie sie in diesem Ausspruche 

 unterstellt werden; aber es folgt leicht, dass man von solchen Q höchstens Q — 2 will- 

 kührlich auf (T wählen kann: Denn die Q Puncte als gefunden angenommen, gestatten, 

 dass man durch sie oo^""^"^^"*^ (7*~^ legt. Wären daher x unter den Q willkührlich, so könnte 

 man durch x-\-p — 1^ — (Q — q) beliebige Puncte der (T eine (T~^ legen. Da aber höch- 

 stens p — 1 Puncte einer C^"^ willkührlich sind, so muss as ^ Q — 5 sein. Wii- knüpfen 

 hieran die Folgerung, dass bei jeder ^r'*' : g ^ -—- ; denn da bei gegebener Schaar 



noch immer g Puncte von einer Gruppe willkührlich sind, muss 2 ^ Q — 2- 



Es dürfte hier nicht überflssig sein» Gewicht darauf zu legen, dass die Maximalzahl 

 p — 1 von wählbaren Puncten der C"""^ nicht durch Constantenzählung erhalten 

 werden kann, obwohl diese, wie sie gewöhnlich durchgeführt wird, das richtige Resultat 

 liefert. Das übliche Verfahren, die in den vielfachen Puncten der C^ befindlichen Puncte der 



C"~^ in Rechnung zu stellen, ist eben nicht stichhaltig. Man kann z. B. ď Puncte D an- 

 geben, welche für die hindurchgehenden Curven m-3*" Ordnung weniger als ö Bedingungen 

 darstellen. Würde eine in-eductibele Curve C" existiren, welche die I) zu Doppelpuncten 

 hat, so wären von einer adjungirten (T~^ offenbar mehr als p — 1 Puncte noch willkührlich. 

 Wenn man also sicher ist, dass letzteres unmöglich, so folgt, dass die gedachte C" nicht 

 bestehen kann. Man ersieht hieraus, wie nothwendig die von Constantenzählung unabhängige 

 strenge Ableitung des Maximums p — 1 war. 



2. Lehrsatz. Sind von einer Gruppe G einer Specialschaar gr**^ genau 



Q — g Puncte willkührlich, so ist C^ hyperelliptisch, falls § — 2<P — 1- 



Beweis. Nachdem man die Q — ^ Puncte a beliebig angenommen hat, werden 

 sie zu Gruppen (?, <?,... gewisser Schaaren gehören. Fügt man zu jenen Q — 2 i^och 

 p — 1 — (Q — 2) ebenfalls willkührliche Puncte h der C" , so lässt sich zufolge des Riemann- 



Roch'schen Satzes durch jede G, (?, und h eine (T"^ legen. Aber diese C^^ ist bestimmt, 

 weil sie die Q — 2 und die h enthält, d. h. p — 1 willkührlich liegende Puncte. Es folgt, dass 

 die G nur in endlicher Anzahl vorkommen können, und das jede durch die Q — <i ange- 

 nommenen Puncte mögliche C^ alle Q aufnehmen wird. Hiernach besitzt C" die Eigen- 

 schaft, dass die durch z/=:Q — q.<^v — 1 beliebige Puncte gehenden (T~^ immer noch an- 

 dere, durch die gewählten /l Puncte a mitbestimmte Puncte a — in den G — enthalten; 

 und wir werden darthun, dass dann auch jede, durch nur einen einzelnen a gelegte C"~^ 

 noch einen zweiten, der Lage nach von a abhängigen Punct « der C" aufnehmen muss: 



a) ^<.p — 2. Auf čT seien p — 1 willkührliche Puncte «j, a, . . . angenommen. 

 Legt man durch je ^ derselben die möglichen C""^, so erhält man (p — 1) Gruppen mit- 

 bestimmter K. Weil der Zahlenwerth des Binomialcoefficienten (p — 1) mehr als p — 1 

 beträgt, so können die hier auftretenden Gruppen nicht aus lauter verschiedenen « bestehen, 



