Uiher die Curven ö" von nf^ Ordnung. 5 



sie müssten ja sämmtlich auf der durch alle angenommenen a möglichen (7"~^ sein, welche 

 nur ^ — 1 + P — 1 Puncte mit C^ gemein hat. Mithin müssen auch schon durch ^i<^ 

 Puncte a gewisse k mitbestimmt sein, nämlich durch die zweien der (p — 1) Combinationen, 



gemeinsamen z/j Elemente. Hierbei kommen zwei Combinationen, die kein a gemein haben, 

 deshalb nicht in Betracht, weil, wenn in den ihnen entsprechenden Gruppen das nämliche 

 «i einginge, wegen der willkührlichen Lage der a offenbar alle oo''"^ C"~^ dieses «j enthalten 

 müssten, was der oben gezogenen Folgerung widerspricht, dass die Mannigfaltigkeit nie die 

 halbe Gruppenzahl übersteigt. Indem man jetzt mit der Anzahl J^ ebenso verfahren denkt 

 wie mit ^, gelangt man zu dem Schlüsse, dass durch ein einziges a schon gewisse a sich be- 

 stimmen müssen, durch ein zweites a sodann von jenen verschiedene k. Dass endlich jedesmal 

 nur ein a auftreten kann, folgt wie eben daraus, dass aus p — 1 Punkten a nie mehr als 

 p — 1 « hervorgehen dürfen. 



h) ^:=p — 2. Hier ist (p — l)^ = p — 1 ; daher wird eine einzige Hypothese möglich, 



durch welche die Verminderung des J in der vorigen Weise ausgeschlossen erscheint, näm- 

 lich die, dass durch ]& p — 2 der a genau ein a, und immer ein neues « hervorginge. Es 

 bietet sich aber folgende Argumentation dar: Durch «j, a^ . . . a^-i sei «; bestimmt, dann 

 bildet «ř mit je ^ — 3 der ganzen Gruppe a^ . . . ap_i eine Gruppe von p — 2 Puncten, die 

 unabhängig von einander bezüglich der durch sie gehenden (T~^ sind — anderenfalls wäre «t 

 schon durch weniger als ^^ — 2 Puncte a bestimmt, und man befände sich unter a). Der 

 eben aufgestellten Gruppen gibt es (p — l)p_3 ; durch jede derselben würde ein Punct (/3) 

 mitbestimmt sein. Nun können diese /3 nicht alle verschieden ausfallen, solange p > 3, da 

 dann stets (p — l)p_3^p — 1, und die durch a^, a^ . . . «p-i, also auch durch «i gehende 

 (T~^ noch wenigstens p — 1 Puncte ß der C^ enthielte, was nichtmöglich ist. Coiucidiren 

 aber zwei ß, so sagt dies aus, dass durch «, und weniger als p — 3 Puncte a, d. h. durch 

 weniger als p — 2 unabhängig liegende Puncte der C^ ein ß mitbestimmt ist, und so ist 

 man wieder im Falle a). 



c) Ist schliesslich p ^ 3, so wird (p — 1)2 <;p — 1, und unser Raisonnement un- 

 brauchbar; da aber p — 2^1, so decken sich Voraussetzung und Behauptung. 



Dass endlich C^ eine g^^^ besitzt, oder hyperelliptisch ist, folgt sofort: % . . . ap_i 

 seien willkührlich angenommen, und durch sie die (T~^ gelegt, diese schneidet C^ noch 

 in p — 1 Puncten «, w^elche den a einzeln entsprechen. Durch aj, . . . a^-i und die ent- 

 sprechenden ííj . . . ap_i gehen 00 ' Curven (T~^, welche aus C* eine g^^^ schneiden werden. 

 Diese g^^^ umfasst alle auf C^ denkbaren Paare aa, und somit existirt keine zweite 

 solche Schaar. 



d) Wenn auf einer hyperelliptischen Cl eine Specialschaar g'-'^^ von Q beweglichen 



Puncten vorliegt, so besteht ersichtlich jede Gruppe aus -^ Paaren. Der zu einer Gruppe 

 gehörende Rest enthält p — 1 ^ Paare ; die hindurchgehenden C"~^ haben wenigstens die 



