g 4. Prof. K. Küpper: 



Mannigfaltigkeit -5- , und da 2^-0-, so folgt q=.-^. Von einer g'f können folglich immer 



Q — q Puncto -willkührlich angenommen werden, sodann erhält die Schaar als Mannigfaltigkeit 

 q' die Zahl Q—q selbst. 



3. Nach dem vorstehenden Satze könnte man auf einer nicht hyperelliptischen 

 C", vonQPuncten, die einer Specialschaar ý*'^ als Gruppe angehören sollen; nur dannQ — q 

 Puncte beliebig wählen, wenn Q — q^p — 1- lu der That findet dies statt: Die Puncte 

 a^, ... «p-i mögen eine (7"~^ bestimmen, welche noch die Gruppe ^i, . . . bp-i aus C^ schneide ; 

 die a wähle man als Q — q, und aus der Gruppe der b entnehme man willkührliche g Puncte. 

 Alle durch die i? übrigbleibenden h möglicher C"~^ schneiden dann die verlangte ^'*^aus. 



Insofern durch die von uns gewählten Q nur eine C'^ geht, müssen dem Riemann-Roch'- 

 schen Satze zufolge den durch die i? gehenden C"~^ ebensoviele Bedingungen auferlegt sein, 

 als dieser Rest Puncte hat; d. h. durch diese R gehen cc' Curven C'"^ . 



Es ist von Nutzen, diese weitere Folgerung zu beachten: 



„Wenn von einer linearen Schaar g''* auf C" bekannt ist, dass von 



einer Gruppe ©mehr als Q — g; Puncte beliebig gewählt werden können, 

 so ist g^'* nicht Specialschaar, und es kannQ — q nicht unter denWerthp 



herabsinken; d. h. es muss: 



p^Q-q^ 

 Auch bietet die Construction einer derartigen Schaar keinerlei Schwierigkeit : Nehmen 

 wir etva an ü — q^p; daher Q>-p — 1. Auf C'^ kann man immer Q Puncte augeben, 

 durch welche eine C"~^ nicht möglich ist; sie mögen die Gruppe ® heissen. Durch ® lege 

 man eine adjungirte C^ von beliebig hoher Oi'dnung, und nenne 9i den Restschnitt von C*, C 

 Da von den gemeinschaftlichen Puncten der C" und einer adjungirten C höchstens p=Q — „ 



durch die übrigen bestimmt sind, so gehen duch 9Í wenigstens co'C^ Diese liefern eine li- 

 neare Schaar, von welcher ® eine Gruppe ist, und nach dem Restsatze ist durch keine Gruppe 

 eine Cr~^ möglich, d. h. in Jeder Gruppe sind genau Q — q=I> Puncte durch die übrigen 

 bestimmt; folglich schneiden die C, welche di enthalten, die verlangte g**^ aus. — 



Als besonderen Fall verdient erwähnt zu werden : Kommt auf C^ eine ®'^^ vor, von 



welcher eine ganze Gruppe nach Willkühr genommen werden kann, so muss 



P<Q. 

 Z. B. Sind von g'^^ beide Puncte einer Gruppe wählbar, so kann C" nur entweder das 



Geschlecht 1, oder haben, und offenbar ist beides möglich. Nur ist auf C" bekanntlich von 



man daher sicher ist, dass nur eine Gruppe willkührlich, nach deren Wahl aber die g 



jeder g^^^ nicht blos eine, sondern stets noch eine Gruppe der Willkühr überlassen. Wenn 



