Uiber die Curven C von «'«>" Ordnung. 7 



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bestimmt ist; so muss p = í. Hiermit ist ein Fehler berichtigt, den Herr Em. Weyr bei 

 der Charakterisirung des elliptischen Falls begangen hat.*) 



Eine bemerkungswerthe lineare Schaar von n Puncten und der Mannigfaltigkeit 2 

 wird von den Geraden der Ebene aus C^ geschnitten. Die nothwendige und hinreichende 

 Bedingung, dass dieselbe Specialschaar g'^* sei, ist die Existenz einer adjungirten C*~*, s i e 

 ist es unbedingt, wennp^n — 2. Wir haben in einer früheren Abhandlung **) bewiesen, 

 dass diese g'^^^ Voll seh aar wird, wenn p über einen gewissen, von n abhängigen Grenz- 

 werth wächst. Wir bemerken, dass hierdurch nicht ausgeschlossen ist, dass mehr als eine 

 Vollschaar g^^^ besteht; z. B. auf C^ mit drei nicht in gerader Linie liegenden Doppel- 

 puncten D bestimmen die durch D gehenden Kegelschnitte eine g''^ , die Geraden der Ebene 

 eine zweite. Fallen die D in eine Gerade, so gibt es nur eine solche Schaar — die von den 

 Geraden ausgeschnittene — dasselbe tritt, wie leicht zu sehen, ein, wenn C^ weniger als 

 3 Doppelpuncte hat. Ueberhaupt lässt sich für p ein Grenzwerth « auffinden, den es nicht 

 überschreiten kann, ohne dass die Möglichkeit zweier g^^^ aufhört. Wenn alsdann für p>n 

 die C^ eine eindeutige Transformation in sich selbst zulässt, so muss durch diese die einzige 

 ^^''Mnsich übergeführt werden, das heisst diese Transformation ist nothwendiger- 

 weise Collineation. 



4. Wir wenden uns wieder den Specialschaaren zu: 



aj Lehrsatz. In einer beliebigen Gruppe (? der Vollschaar ^^^^^ kann 



man stets Q — ^ Puncto angeben, welche für die durch sie gehenden C"~^ 

 genau Q — g unabhängige Bedingungen darstellen. 



Beweis. Gesetzt, man habe in G Q — q — v (v^l) Puncte a ausgewählt, die den 

 hindurchgehenden C"~^ ebenso viele Bedingungen auferlegen. Dies ist möglich, weil v beliebig 

 gross sein kann. Nun können diese C"~^ nicht alle übrigen q-\-v Puncte der G enthalten, 

 da dies dem Riemann-Eoch'schen Satze widerspräche, h sei einer der Puncte, den die ge- 

 dachten (T"^ nicht aufzunehmen brauchen ; fügen wir diesen den a zu, so gewinnen wir eine 

 Gruppe von Q — g — v^ Puncten (v, = v — 1), die in derselben Weise von einander unab- 

 hängig sind, wie die a es waren. Solange Vi>0, kann man so fortfahi-en, und gelangt daher 

 nothwendig zu einer Gruppe von Q — g Puncten a, b, c — welcher die im Satze ausgespro- 

 chene Eigenschaft zukommt. Sodann muss aber jede durch die a, b, c . . . gelegte (T' 

 sämmtliche fehlende q der G aufnehmen: Denn wäre etwa x hiervon ausgenommen, so be 

 trüge die Mannigfaltigkeit der durch a, b, c . . . x möglichen C^ gewiss weniger, all 

 p — 1 — (Q _ 2), was nach dem eben citirten Satze nicht zulässig ist. 



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*) Sitzungsber. der k. Acad. der Wissenschaften. 

 **) Sitzungsberichte, Jahrg. 1887. 



