8 4. Prof. K. Küpper. 



h) Gibt es auf C" eine g^^^ von Q beweglichen Puncten, so muss jede 



Cf^^ , die von irgend einer Gruppe G der Schaar Q — 1 Puncte aufnimmt, 

 auch den fehlenden x enthalten. 



Wenn nämlich eine solche (7"~^ nicht durch a ginge, so ziehe man eine Gerade A 

 beliebig durch a, und nenne r ihre ferneren n — 1 Schnittpuncte mit C^ . Die gedachte (7""* 

 habe ausser den Q — 1 Puncten aus O noch r' mit CT gemein. Nach dem Eestsatze muss 

 aber die g'-^^ durch adjungirte C^^ ausschneidbar sein, welche die )' und ť enthalten. Da 



diese offenbar die Gerade A als Bestandtheil hätten, so wäre a ein fester Punct der Schaar, 

 was gegen die Voraussetzung ist. 



c) Die hyperelliptische C"_2 vom grösstmöglichen Geschlecht. 



Aus h) ersieht man, dass einer hyperelliptischen Curve C^ die Eigenschaft zukommt, 

 dass alle durch einen beliebigen Punct a der Curve denkbaren (7"~^ die C^ in einem zweiten 

 Puncte a treffen müssen. Die so erscheinenden Paare aa constituiren eben die g^^^ , ^velche 

 der Definition der C^ zu Grunde liegt. Die Geraden, welche die Paare aa tragen, umhüllen 

 eine rationale Curve Ff, die der C" associirteEnveloppe. Die g^^\ welche die Ge- 

 raden der Ebene bestimmen (3.), kann nicht Specialschaar sein, denn sonst wäre eine ad- 

 jungirte <T~^ vorhanden; und es bildete jede beliebige Gerade mit dieser (T~* zusammenge- 

 nommen eine (T~^; mithin würden nicht alle dui'ch a gelegten (T~^ denselben Punct « ent- 

 halten. Weil endlich ^r^^^ Specialschaar wäre, wofern p> n — 2 (3.), so kann p nie über 

 1^2 steigen. 



Setzen wir p^n — 2, so lässt sich die Natur der hyperelliptischen C^_^ leicht 

 erschliessen. 



Erstens. Hat C" einen n — 2-fachen Punct, sonst keinen vielfachen Punct, so 

 wird p:=.n — 2, und offenbar C^_2 hyperelliptisch, und ihre g^^^ wird von den durch den 

 n — 2-fachen Punct gehenden Geraden ausgeschnitten. 



Zweitens. Nimmt man an, C" hätte keinen w — 2-fachen Punct, jedoch das Geschlecht 

 p-=.n — 2, so müssen wenigstens 2 vielfache Puncte auftreten, z. B. F,, Fj, deren Viel- 

 fachkeit &,, \ jede mehr als 1 beträgt. Verbindet man einen auf (T beliebig gewählten 

 Punct a mit F^ durch die Gerade (r,, so behaupte ich, dass Q^ Bestandtheil einer gewissen 

 C~^ sein muss : Nämlich die Mannigfaltigkeit der C"~^ ist hier n — 2 — lr=« — 3; also 

 kann man irgend n — 3 Puncte von (?i als zu einer (7"~^ gehörig betrachten. F, selbst gehört 

 wenigstens als einfacher Punct ebenfalls zu dieser Curve, so dass Q-^ n — 2 Puncte mit ihr 

 gemein hat, folglich ein Theil derselben sein muss. Es ist hiernach klar, dass für unendlich 

 viele Lagen von a der mit a gepaarte « auf V^a fallen muss. Für die Geraden V„a folgt 

 aber ein Gleiches, und weil dies unmöglich ist, so können auf C^_jj nicht 2 verschiedene viel- 



