Viher die Curven C von n*'>' Ordnung. 9 



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fache Puncte vorkommen. Wenn aber nur ein einziger vielfacher Punct existiren kann, so 

 muss dieser n — 2-fach sein, damit das Gesclilecht n — 2 sich ergibt. 



d) DieKlasse derEnveloppe E". Die Bestimmung des x geschieht dadurch, 

 dass man die Paare aa aus einem beliebigen Puncte o der Ebene projizirt, und in den so 

 erhaltenen Strahlenpaaren oa, ok die Coincidenzen ermittelt. Im Ganzen sind deren 2», von 

 denen 2x auf die von o an E" möglichen Tangenten zu rechnen sind. Ferner sind auf C^ 

 coincidirende Paare, und zwar gibt es deren 2p -f 2, die als einfache unter den 2w zählen ; 

 woraus 2x -Jf- 2p ~\- 2 = 2n , x-=.n — p — 1. 



Um sich eine C^, für welche p<:n — 2 zu verschaffen, kann man als solche eine C" 

 nehmen, die einen n — 2-fachen Punct, und ausserdem noch Doppelpuncte hat. Eine solche 

 Curve kann man sodann durch ein Netz adjungirter C"~^ in andere transformiren. 



Eine zweite Methode beruht auf der Thatsache, dass man, wegen p<in — 2 

 die gesuchte ebene Curve als Projection einer Raumcurve ß" betrachten darf. *) Da wir in 

 der Folge veranlasst werden, näher hierauf einzugehen, so werden zwei Beispiele genügen, 

 um das allgemeine Verfahren zu illustriren: 



F^ sei eine Regelfläche 2'™ Grads: Man lege durch 3 windschiefe Gerade der F'^ 

 eine Fläche .5*'"" Ordnung F^, so schneidet diese aus F- eine Raumcurve R\ welche die beiden 

 Geradenschaaren der F'^ beziehlich zu 2-, und 5-punctigen Secanten hat. Projizirt man iž' 

 aus einem Puncte / der Fläche F'^ auf eine Ebene JS, so bekommt man in E eine C mit 

 einem 5-fachen, einem Doppelpunct, also auch mit einer gf^. Projizirt man alsdann E' aus 

 einem nicht auf F'^ liegenden Puncte o, so entsteht in E eine S'', welche der C' eindeutig 

 punctweise entspricht, folglich eine ^'j^' haben wird. Wie für C", so ist auch für S':p=:?i — 3 = 4, 

 und S' hat im Allgemeinen 11 Doppelpuncte. In diesen Abhandlungen (VII. Folge, I. B.) 

 habe ich diese Curve bei der Untersuchung eines Netzes C* gefunden, und zuerst auf die 

 bemerkenswerthe Eigenschaft hingewiesen, dass jede adjungirte C*, welche irgend 3 Paare 

 der ß' enthält, stets die Schnittpuncte der Geraden enthalten muss, auf 

 welchen jene Paare liegen.**) 



Es ist klar, dass die der S' associirte Enveloppe ein Kegelschnitt ist. Wollte man 

 eine C haben, deren p = 3, deren Enveloppe gleichfalls dritter Klasse ist, so nehme man 

 eine Regelfläche 3**" Grads F^ , schneide sie mit einer durch ihre Doppelpunctsgerade ge- 

 legten F'^ in i?', und projizire diese in analoger Weise wie vorher. 



5. Die Specialschaar gf auf (f (jp>4). 



Wird für's Erste p nur !> 1 gedacht, damit überhaupt von einer Specialschaar auf C" 

 die Rede sein könne, so muss schon p>2 sein, damit die etwa vorhandene g^^^ Specialschaar 

 sei. Ausdrücklich wird Beweglichkeit aller drei Puncte einer Gruppe unterstellt, wodurch 



*) Cf. Nöther, Preisschrift über alg. Raumcurven, §. 3. 

 **) Die Generalisation dieser Eigenschaft gab Herr Bobek (math. Annalen, B. 29.). 



Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, VIL 3. 



