IQ 4. Prof. K. Küpper; 



der hyperelliptische Fall ausgeschlossen erscheint, und bedingt wird, dass jede Gruppe ganz 

 auf einer (T~^ liegt, welche nur 2 Puncte der Gruppe enthält. 



Jeder Punct a der C" wird nun zu einer Gruppe gehören, wobei es möglich bleibt, 

 dass mehr als eine g^^^ existirt. Wir stellen uns zuerst die Frage, ob eine g^^^ vorkommen 

 kann, welche in einer ihrer Gruppen zwei auf C^ willkührlich gewählte Puncte Oj, a^ hat? 

 Die Antwort wurde unter 3. gegeben: Als nothwendige Bedingung stellte sich heraus: 



p — 1 = 3 — 1, d. i. p = 3. 



Umgekehrt, ist p = 3, so gibt es auf C" immer eine ^f*^' , so dass die beliebigen 

 Puncte aj^, a^ in einer Gruppe auftreten: Denn eine durch «j, a^ gelegte (T~^ schneidet 

 Cl noch in zwei Puncten, wovon einer a,, der andere b heissen mag. Durch h gehen nun co' 

 Curven (7""", und diese schneiden die fragliche Schaar aus. 



Setzen wir daher p > 3, so ist von einer Gruppe der auf C^ etwa möglichen g^^^ nur 

 mehr ein Punct wählbar. Unentschieden ist, ob vielleicht mehr als eine Schaar vorhanden 

 sein kann? Wir werden zeigen, dass für p = 4 in der That mehr als eine Schaar existirt, 

 dass hingegen, wenn 2'>4 höchstens eine gf bestehen kann: 



Erstens. Wir transformiren C\ durch das Netz der Í7"~^ welche irgend einen auf 

 dl fixirten Punct h enthalten in C\. Diese C'i erhält alsdann 2 Doppelpuncte D, und wird 

 von den Geraden, die man durch einen D ziehen kann, in einer g^^^ geschnitten. Daher muss 

 (7^ ebenfalls zwei Schaaren g'^^^ besitzen. 



Zweitens. Wird vorausgesetzt C" habe zwei Schaaren g^^^ , so seien a, a^ o., ; 

 \ b^ 63 zwei Gruppen von je einer Schaar. Wir transformiren C" durch das Netz der C^~^ , 

 welche irgend welche p — 3 fixe Puncte der C^ enthalten in C^"*"^ . Mit Anwendung von 4. b) 

 erkennt man im Transformationsnetze zwei Curven, wovon die eine durch a^a^a^, die andere 

 durch &1&2&3 geht, und so findet man zwei Büschel im Netze, die je eine der supponirten 

 Schaaren ausschneiden. Aus diesem Grunde erhält C*"'"^ zwei p — 2-fache Puncte, und es kann 

 P nicht grösser sein, als: 



^-^-(p-2)(p-3) oder llZZ^,^ , 



Dieser Ausdruck ist aber stets dann <; 4, wenn p !> 4 ; folglich ist nur für p ^ 4 

 die Möglichkeit der Existenz zweier g^^^ vorhanden. 



Wenn wir daher in der Folge p>4 annehmen, so kann auf C" nicht 

 mehr als eine o^^' sein. 



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6. Lehrsatz. Die aufC^ supponirte g^^^ ist durch die Tangenten einer 



