Uiher die Curven C" von n'"' Ordnung, 1 1 



rationalen Curve E' der x'™ Klasse ausschneidbar, wenn mindestens eine 

 er-* existirt.*) 



Denn die C"-*, zusammengenommen mit der Geraden, welche 2 Puncte einer Gruppe 

 verbindet, liefert eine C"~'. Wenn daher alle 3 Puncte beweglich sein sollen, so muss die 

 gedachte Gerade den dritten Punct enthalten (4. b). Dass die Enveloppe der Geraden, welche 

 alle Gruppen tragen, rational ist, folgt daraus, dass diese Geraden eindeutig den Curven 

 eines die Schaar ausschneidenden Büschels entsprechen. E" nennen wir die associirte 

 Enveloppe der C" . 



Wenn die C"*~* ausserhalb der vielfachen Puncte noch irgend einen Punct a von 

 C^ enthält, so muss sie auch die Gruppe aa^a^ aufnehmen, zu welcher a gehört: Man lege 

 durch a, eine Gerade, die nicht durch a^ geht, so hat man eine C"~^, durch a, a^ gehend; 

 diese muss «, enthalten, folglich muss «^ auf den Bestandtheil C""'' der C"~^ fallen, und 

 ebenso «i. Es folgt nun sofort: 



«) Jede durch a mögliche (7"~* enthält «j, a^. h) Die ^f^^^ wird durch 

 einen Büschel (7"~* ausgeschnitten. 



Wir beschränken unsere Untersuchung weiter dadurch, dass wir nur solche (T in Be- 

 tracht ziehen, die eine durch Curven C""* ausschneidbare g'-^^ besitzen, und legen diesen C^ 

 den Namen Trigonalcurven bei. Weil eine C"~* mit C" noch 2p — 2 — w einfache Puncte 

 a gemein hat, so ist für eine Trigonal curve immer: 



n + 2 

 2p — 2 — n>0, oder p > — |— . 



Wenn zugleich w>6 gesetzt wird, so ist dann von selbst die ursprüngliche For- 

 derung p > 4 erfüllt. 



Die Bedingung i5!>— í— ist für die Existenz der Trigonalcurve eine nothwen- 



dige; aber keineswegs reicht sie hin. Vor allem ist es fraglich, ob denn eine C""" vor- 



n-L2 

 banden sein muss, falls p > T^ . Wohl ist es leicht, eine untere Grenze für die Mannig- 



faltigkeit f/ der möglichen C"~* anzugeben, nicht aber das Maximum von ft zu finden. Wenn 

 es nämlich eine C""* gibt, so ist die von den Geraden auf C^ bestimmte g^^^ Special- 

 schaar, und es sind nur 2 Fälle denkbar : Entweder g'-^^ ist Vollschaar , oder Theil einer 

 solchen von höherer Mannigfaltigkeit 2 + ^.(^>0). In beiden Fällen ergibt der Riemann- 

 Roch'sche Satz die Mannigfaltigkeit ft der durch eine Gruppe möglichen (T~^, das ist das 

 fi der C"-*: 



H=p — 1 — (n — 2 — z/)=p — n-\-l-\-^. 



*) Die kurze Bezeichnung: C"~^, 0"~* etc., gebrauchen wir ausschliesslich für Curven, welche der C™ 

 adj ungirt sind. 



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