10 4. Prof. K. Kuppel-: 



Für z/ = hat man jenes Minimum : i^o = P — « + 1 1 die normale Mannigfaltigkeit 

 der (T~*; über die Grösse des [i hingegen, der faktischen Mannigfaltigkeit lässt sich im 

 voraus nichts feststellen. 



Soviel aber ist gewiss; Wenn p->n — 1, so gibt es wenigstens co* Curven C"~\ 

 und die etwa vorhandene g^^^ wird von einem Büschel der C'~* ausgeschnitten. 



Zur genauem Characterisirung einer Trigonalcurve C^ dient der Satz: 



Ihr Geschlecht p kann nicht grösser, als 2n — 5 sein: 



Die Definition einer Trigonalcurve findet ihren Ausdruck darin, dass die von den 

 Geraden der Ebene stammende g*-^^ Specialschaar ist; dahingegen kann die von den 

 00^ Kegelschnitten bestimmte g^^^ nicht Specialschaar sein. Denn wäre sie es, 

 so existirte eine C™~'^ und es bildete diese mit einer beliebigen Geraden eine C"~*; wes- 

 halb offenbar die unter a) hervorgehobene Eigenschaft der C" nicht bestehen kann. Würde 

 aberp>2ii — 5 sein, so wäre die ^r*^^ Specialschaar. 



7. Lehrsatz: Die Trigonalcurve C^ , für welche p den Maximalwerth 

 p=i2n — 5 annimmt, hat nothwendig einen n — 3- fachen Punct V. 



Es ist klar, dass C" mit einem n — 3-fachen Puncte V sowohl das Geschlecht 2n — 5, 

 als die a'^^ besitzt. 



•'s 



Hätte aber C" einen Ä;,-fachen Punct Fj, (fcj <; n — 3), so müsste sie noch einen 



>1 

 Äj -fachen Punct V^ haben, {k^^l); damit p=z2n — 5 sein könne. Bei dieser Annahme 

 werde ich nachweisen, dass nicht alle C"~* die einen beliebigen Punct a von C" enthalten, 

 noch durch zwei mitbestimmte Puncte a^, a^ der C" gehen, dass demnach die g'^^^ unmöglich 

 ist (6. a) : Die normale Mannigfaltigkeit der C"~* ist (Iq^p — n-j-1 =n — 4. Man kann 

 deshalb eine C"'~* herstellen, welche eine beliebig durch Fj (oder auch durch Fj) gezogene 

 Gerade G^ (bezw. G^) zum Bestandtheil hat; man braucht nur n — 4-j-l — (k^ — 1) Puncte 

 der C"~^ auf ff^ zu verlegen, was wegen Aj >» 1 zulässig ist. Denkt man jetzt a variabel 

 auf C, und fasst die Verbindungslinie F^ a als G^ auf, so .muss es sich unendlich oft er- 

 eignen, dass die beiden Puncte %, cioi die mit a eine Gruppe ausmachen, in die betreffende 

 Gl fallen. Ein Gleiches müsste auch für die Gerade F, a als G^ betrachtet gelten; dies 

 ist offenbar unmöglich. Ist hiermit dargethan, dass C"^_^, wofern auf ihr g'-^^ sein soll, 

 höchstens einen vielfachen Punct haben darf, etwa einen Ä;-fachen, so muss: 



(„ _ D^n -2 )__ k(k-l _ ^^^ _ ^^ ^^^^ |fc_(„_3)}{&_(4_„)|_0; 



d. i. k=:n — 3 sein. 



Für eine C" vom Geschlechte 2n — 5 gelt nach unserer Argumentation der Satz: 



„Wenn der C^^^^ die Eigenschaft zukommt, dass alle durch einen 

 willkührlichen Pundt a der C urve gehenden C""* noch 2 durch a mitbe- 



