Jg 4. Prof. K.Küpper: 



tritt auf (7""* ein fester n — 5 Punct / auf, dessen Strahlen die durch jede andere Curve 

 aus C^* geschnittener n — 5 Puncte enthalten, und man erlangt auf diese Weise oo ' Büschel 

 des Netzes. 



10. Nunmehr wollen wir beispielweise den Fall ?i = 9 ausführlich behandeln, die 

 Trigonalcurve C\^ construiren, indem wir festsetzen, dass sie ausschliesslich Doppelpuncte D, 

 also 18 D haben soll, und beweisen, dass bei gegebenen 18 D nur eine C'^ und zwar 

 als Trigonalcurve existirt. 



Zunächst dürfen die 18 D für die hindurchgehenden C^ nur 17 unabhängige Bedin- 

 gungen darstellen, und sie dürfen auf keiner C" liegen. Hiernach erscMiesst man die Dis- 

 position der D folgendermassen : 



C'i sei eine beliebige der co * durch sie möglichen C'^ Cl wird von den übrigen in 

 einer gf'^ geschnitten, und da ihr Geschlecht 6 > 7 — 2, so ist g^p Specialschaar, und muss 

 durch oo * Kegelschnitte ausschneidbar sein, die 3 auf Cl liegende unveränderliche Puncte 

 iCfli Vo^ ^0' die ßestpuncte der gf^ enthalten. Es ist nun nothwendig und hinreichend, 

 dass die Restpuncte nicht in gerader Linie liegen; denn wären sie in einer Geraden i, so 

 bestände gf'^ aus 2 festen Puncteu auf L und je 5 in gerader Linie liegenden Puncten 

 der Cl. Alsdann müsste, wie man sieht, eine C* durch die D gehen; würde man umgekehrt 

 dies voraussetzen, so hätten C\ Cl ausser den D noch 2 Puncte gemein, deren Verbindungs- 

 linie L aus Cl die Restpuncte der jetzt erscheinenden ^r',-' schnitte. Nimmt man deshalb auf 

 einer Cl die Ecken eines Dreiecks «q, ?/o, z^ an, legt durch sie eine C- und durch die 7 

 ferneren gemeinsamen Puncte der Cl C^ eine zweite C'\ so schneiden sich Cl, C^ in 18 

 Puncten D, die der an sie zu stellenden Forderung Genüge leisten. Man ist nun gewiss, dass 

 von den 7 beweglichen Puncten der g^?'^ niemals 5, in einer Geraden sein können. Jede 

 Gruppe der g^f^ liefert mit den D die 25 Grundpuncte eines Büschels (C), und jede 

 C" ist in einem dieser oo ^ Büschel enthalten. Vor allem fassen wir diejenigen Gruppen ins 

 Auge, von welchen drei Puncte in einer Geraden G sind. Der ausschneidende C^ muss G 

 zum Bestandtheil haben, hierbei sind zwei Fälle denkbar: Entweder enthält G einen 

 einzigen der Restpuncte, z. B. z^\ oder aber zwei dieselben, etwa «q, y^: "Wenn er- 

 steres stattfindet, so ist die Gruppe, zu welcher die gedachten drei Puncte gehören, voll- 

 kommen bestimmt und sie enthält auch die drei Puncte Tj, welche die Verbinduugslinie 

 ccoT/o^rTj noch mit Cl gemein hat; doch durch jene gedachten Puncte gehen nur oo * 

 Curven C". Im zweiten Falle ist hingegen Gruppe nicht bestimmt, indem die r^ mit 

 irgend 4 mit z^ in geraden Linie liegenden Puncten eine Gruppe liefern, mit anderen Worten 

 durch die Gruppe r^ lassen sich noch oo * C^ legen, oder jede C\ die einen der r^ enthält 

 muss auch die beiden anderen aufnehmen. So erscheinen auf jeder Seite Tj, r„, x^ des 

 Dreiecks x^ y^ z^ je eine ebenso charakterisirte Gruppe von drei Puncten Tj, T^, T^; und 

 ausser diesen existirt auf Cl keine zweite solche Gruppe. 



Offenbar kann jede der oo ' C^ die Rolle der Cl übertragen werden, so dass in der 

 Ebene unendlich viele dieser Gruppen r auftreten. Durch je zwei r gehen, noch co * C\ 

 durch je drei r eine einzige C, und diese muss durch die Schnittpuncte der drei Geraden 

 T gehen, welche die angenommenen r tragen. Hieraus ergibt sich leicht, dass alle denkbaren 



