JJiher die Ourven C" von re*«'' Ordnung. 17 



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T einen Kegelschnitt E'^ umhüllen und dass auf jeder Tangente dieser E"^ 

 eine Gruppe z liegt: z^, t^ seien 2 beliebige auf den Geraden z^x^^T^, z^y^^T^ 

 befindhche r; sie bestimmen einen Büschel (C^), dessen Curven sämmtlich auch durch z^ 

 gehen. Eine dieser C^ schneide T^ in «, T^ in y, dann fällt die Gruppe r, welche C^ 

 neben r^, r^ besitzt, auf die Gerade xy^T. Variirt hiebei a?, y, so wird (x)^(y) sein, und 

 T umhüllt einen Kegelschnitt i?^, der auch T^, T^ berührt. Da jede überhaupt mögliche t 

 mit T^, Tj auf einer C^ liegt, so sind alle t auf den Tangenten des -E^ Auf x^y^ 

 befinde sich z^ ; die veränderliche Gruppe r liegt zugleich auf einer Curve des durch z^, z^ 

 gehenden Büschels {C\ und zwar geht die betreffende C^ durch den festen Punct x^ und 

 den variabelen x: Mithin sind die Büschel (C), {C\ projectivisch auf einander bezogen, und 

 erzeugen eine C^° mit den Doppelpuncten D. Diese C" zerfällt aber in die Gerade Tj, die 

 von X beschrieben wird und eine Trigonalcurve C\^\ diese ist der geometrische Ort 

 für sämmtliche z. Gäbe es überhaupt eine Trigonalcurve C mit den Doppelpuncten D, so 

 raüssten auf ihr die Gruppen r liegen, sie müsste mit der construirten identisch sein. Es 

 kann aber auch keine andere Curve 9'" Ordnung C mit den Doppelpuncten D bestehen- 

 Denn da noch oo^C durch die D möglich sind, wäre S^ Projection einer Eaumcurve R^ 

 iNöther, 1. c). Die Schaar g'-^], welche die Kegelschnitte der Ebene aus S^ schneiden, ist 

 nicht Specialschaar wegen der Mchtexistenz einer adjungirten C*; also ist auch die von der 

 Quadridflächen auf R^ bestimmte g'-^] nicht Specialschaar, und weil 10 das Geschlecht der 

 R^ ist, so ist 8, nicht 9 die Mannigfaltigkeit dieser Schaar. Daraus folgt, dass -R° auf einer 

 Quadridfläche F"^ liegen muss. Soll dann ihr Geschlecht 10 sein, so müssen die Geraden der 

 einen Schaar von P dreipunctige, die der anderen Schaar 6punctige Secanten der R^ sein. 

 Demnach besitzt die Projection S' die ý^^, und kann von der construirten C\^ nicht ver- 

 schieden sein. Durch Constantenzählung, indem man einen D für 3 Bestimmungsstücke 

 rechnet, käme man zum selben Schluss, aber bei Berücksichtigung der Lage der D ist die 

 Zulässigkeit dieser Eechnung nicht begründet. 



11. Die Trigonalcurven C^„_ii und die Construction der von uns 

 betrachteten Curven dieser Art. 



Die Annahme ^:=2 führt zu diesen Curven vom Geschlecht 2n — 11. Eine C°~ * 

 schneidet in 2 (2n — 11) — n — 2 =: 3 (n — 8) Puncten, in w — 8 Gruppen r. Durch n — 9 

 Gruppen gehen co ^ Curven C"""*, welche die Schaar g^p ausschneiden. Es ist deshalb 

 w ^ 9 SU setzen. Die associirte hat die Klasse ^-{-1:= 3. 



Durch einen beliebigen Punct o gehen drei Tangenten T^. T^, Tj der E^, auf denen 

 die Gruppen t,, Tj, z^ sein mögen. 



Unter z. seien n — 10 willkührliche Gruppen verstanden, so gehen durch dieselben 



und tj, r^, bezw. Zy, z^; z-j, z^ drei bestimmte Curven C"~*, C^~^ C""*. Durch die n — 7 

 Gruppen r„ rj, r^, Tj lassen sich genau oo ^ adjungirte C""~^ legen, da 2 (w — 7) = 2w — 11 — 3 

 In diesem Netze kommen die drei linear unabhängigen Curven: C"^"* -{- T^, C^—^-f-Tj, 

 ^— 4_|_ j,^ vor; und weil diese den Punct o enthalten, müssen alle ao^ C"~^ des Netzes 

 durch gehen. Nun bildet eine Gerade Tj, welche irgend eine der Gruppen rj, etwa tí, trägt, 



Mathematlscli-natarwiasenschaftllche ClasBe, VH. 3 3 



