JJiber geometrische Netze. 9 



der conischen Polare eines beliebigen Punctes der Ebene die diesem Puncte associirte Netz- 

 curve verstellen. 



Beweis. Vergl. Fig. 5 c). 



Erstens: Wenn a*, h"^ die conischen Polaren irgend zweier Puncte a, h sind, und 

 man bestimmt von a bezüglich h"^ die gewöhnliche Polare, so erhält man in ihr auch die 

 Polare von h bez. a^. 



Die Gerade ab^G durchdringt C noch in c, dessen conische Polare c* die G in c, v 

 schneidet, dann liegen die Paare aa, bß, cy gegen a, b, c wie in der früheren Zeichnung. Aus 

 der Beziehung zwischen a\ C^ erhellt ferner, dass die Tangente von a^ in « durch den Schnitt- 

 punct a^ der Tangenten von C in 6, c gehen muss. Ist daher 6, Cj Tangente von C" in a, so 

 wird sie von a^^« in einem Puncte u geschnitten, welcher der Pol von G bez. «^ ist; folglich 

 ist u von a durch b^ , c.^ harmonisch getrennt. Wird jetzt a^c^ von cm in v geschnitten, so ist 

 auch V von b durch a^e^ harmonisch getrennt; deshalb ist v der Pol von G bezüglich 6^ und 

 also buv sowohl Polare von b in Bezug auf a*, als von a in Bezug auf 6*. 



Zugleich bemerkt man, dass a und m, b und v conjugirt für den Büschel (a*, 6') 

 sind. Bezeichnet w den Pol von G bezüglich c' so muss dieser von c durch «,, b^ harmo- 

 nisch getrennt sein, also sowohl auf bu als av liegen, und er ist zu c im Büschel (a\ 6') 

 conjugirt, weil bu, av die Polaren des c resp. in Bezug auf a', 6* darstellen. 



Zweitens. Im Büschel (a'^b^) ist auch c^ Sei c* die in diesem Büschel vorkom- 

 mende durch c gehende Curve. Da c, y ein Paar der vom Büschel aus G geschnittenen In- 

 volution ist, — a, « ; b, ß; c, y sind bekanntlich in Involution, so geht c'* auch durch y. Nun 

 sind, wie wir sahen, c,io conjugirte Pole für alle Kegelschnitte des Büschels (a\ 6^); folglich 

 muss cw Tangente des c'* in c sein, und da a, u ebenfalls conjugirt für c'^ sind, so muss bu 

 Polare des a in Bezug auf c'', also w der Pol von G bezüglich c'^ sein. Daher wird c^ — 

 ebenso wie c"^ — in c, y die Tangenten cw, yiu besitzen. Die Identität c*^c* ergibt sich 

 sodann, wenn man noch die conische Polare z* eines im Allgemeinen willkührlichen Punctes 

 z der C in Betracht zieht. Die 3 Polaren von z bezüglich a^, 6*, c* sind einerlei mit den 

 Polaren von a, b, c bez. z"^, treffen sich somit im nämlichen Puncte s', dem conjugirten von 

 z in Bezug auf den Büschel («*, ö^). Da der Ort aller Puncte, welche den Puncten von G 

 als conjugirte für [a^, 6") entsprechen, ein gewisser Kegelschnitt g"^ ist, so darf über s die 

 Annahme gemacht werden, dass z' nicht auf G fällt. Alsdann existirt aber unter den Kegel- 

 schnitten, welche sich in c, y berühren, einer und nur einer, welcher z von z' harmonisch 

 trennt. Dies aber thut c" zufolge der Construction des z', und nicht minder c^ als Curve des 

 Büschels (a*, 6*); mithin 



Drittens. Jetzt beziehen wir den Büschel {a^, b^) oder (Q) projectivisch auf das ge- 

 rade Gebilde G so, dass a*, b'\ c' . . . K'^, den Puncten a, b, c.K entsprechen : Nehmen 

 wir die Polaren von z für alle Curven des (Q), so treffen diese sich in z'. Ebenso werden 

 die Polaren von a, & ... Z bezw. für a*, b^. .K" durch z' gehen Jene liefern einen Büschel, 

 dessen Strahlen den Kegelschnitten a\ b"^ ...IC- projectivisch zugewiesen sind, die letzteren 

 liefern einen zweiten Strahlenbüschel. Beide haben das Centrum z', und sind projectivisch 

 so aufeinander bezogen, dass es 3 Strahlen in dem einen Büschel gibt, die mit ihren homo- 



Mathematlsoli-naturwÍBsenschafffiohe Claose, VII. 3. 2 



