4 7. Piof. K. Küpper. 



Übrigen Puncte der G^ aufnehmen, wofern v>l. In dieser Weise fortfahrend erlangt man 

 noth wendig eine Gr-q_„\ über die Gruppenzahl Q — g kann man aber, wie anfangs bemerkt 

 wurde, nicht hinausgehen, womit offenbar ausgesagt ist, dass die ganze Gruppe G^^ 

 auf allen C" der gefundenen Basis G^q_^ liegt. 



2. Lehrsatz. In einer anormalen Gruppe G^^ befinden sich stets 

 Q — a; Puncte, so dass alle durch je Q — x — 1 derselben gehenden C" den 

 fehlenden Q — a;*°° Punct aufnehmen. 



Beweis. Würde die Behauptung für gewisse Q — 1 Puncte der G'-^ nicht statt- 

 haben, so hätte man in diesen eine G''^*_^; denn die Mannigfaltigkeit ihrer C" überträfe um 

 1 diejenige, welche der G^^ zukommt, und es ist: 



-Q + ^ + l = -(Q-l) + 2. 



Träfe auch für G^^_^ die Aussage nicht ein, so Messe sich vie vorher í?q1_2 aufstellen, 

 u. s. w. Würde man nun in dieser Weise fortfahrend nicht zu einer G^^_^ gelangen, der die 

 im Satze ausgedrückte Eigenschaft zukommt, so müssten anormale Gruppen von beliebig 

 kleiner Punctzahl existiren, was nicht der Fall ist. In Bezug hierauf gilt nämlich der Satz: 



„Die kleinste Punctzahl für eine anormale Gruppe ist m + 2, ihr Ex- 

 cess ist 1, und sie muss auf einer Geraden liegen." 



Beweis. Wir schicken voraus: Wenn die zu irgend einer Basis (r^^ (2^0) ge- 

 hörenden C" einen ausserhalb der Basis befindlichen Punct gemein haben, so liefert dieser 

 mit G^y zusammen eine G|^^j, d. i. eine anormale Gruppe; denn 



Fügt man aber zur G'|' einen Punct, der nicht auf allen jenen C" vorkommt, so 

 bildet man G'^^,^, weil 



Existirte nun eine anormale Gruppe von weniger als n -[- 1 Puncten, so liesse sich 

 eine solche von n -}- 1 Puncten herstellen. Gäbe es ferner eine Basis von weniger als n ~\-l 

 Puncten, auf deren C^ noch ein weiterer Punct läge, so könnte man sich ebenfalls eine anormale 

 Gruppe von n-{-l Puncten verschaffen. Wenn wir daher zeigen, dass G^^, ^ unmöglich ist, oder 

 dass n-\-l wie immer gelegene Puncte sich normal gegen die C" verhalten, so haben wir zugleich 

 dies Resultat gewonnen : Weniger als ?i-[-l Puncte sind für ihre C" eine normale 

 Gruppe, und es können ihre C" nicht noch einen Punct gemein haben. 



Gesetzt, man habe G^'l^ (g>>0). Da q wenigstens 1 ist, so folgt nach N° 1., dass 

 in dieser Gruppe n Puncte «i, «j, . . . a^^ angegeben werden können, so dass alle durch sie 



