Zur Theorie der algebraischen Curven lí^"' Ordnung: C"- 5 



denkbaren (T den fehlenden n -\- 1'™ Punct h enthalten. Man lege durch a. eine Gerade, die 



weder h noch einen 2'°° a enthält, dann alle C"~^ durch die übrigen n — 1 a; diese müssten 

 durch h gehen. Scheidet man mittels einer zweiten durch a.^^ gelegten Geraden auch diesen 



aus, so müssten alle durch die n — 2 a gehenden (T~^ den h aufnehmen. Man käme so zu- 

 letzt auf einen a und es sollte jede durch diesen denkbare Gerade durch h gehen, was 

 absurd ist. 



Ist hiernach die Möglichkeit von G^'^ (3 > 0) an die Bedingung Q = ii-j- 1-[- v (v>0) 

 geknüpft, so ergibt sich zunächst als Maximalwerth von c[ die Zahl v selbst. Denn wäre 

 2 > V, so fände man (N° 1) eine Gruppe von weniger als n-\-l Puncten derart, dass ihre 

 (T noch gewisse andere Puncte gemein haben, welche aber nach dem so eben Bewiesenen 

 undenkbar ist. Wird jetzt Gr^',^,^ vorausgesetzt, so folgt leicht, dass ihre n -|- 1 -{- v Puncte 

 in gerader Linie liegen müssen. 



Nämlich nach 1. sind m G" w+1 Puncte a in solcher Lage, dass die durch 



sie möglichen C" die sämmtlichen übrigen Gruppenpuncte 6. aufnehmen. Hieraus leitet man 

 mit der in dieser Nummer gebrauchten Schlussweise ab, dass jede, durch zwei willkürliche 

 a gelegte Gerade die h^ aufnehmen muss, w. z. b. w. 



Es bedarf wohl keiner Erläuterung, dass diese Bedingung der Lage zur G^'"' . 



führt; ihre C" zerfallen demnach in die Gerade i, welche die Gruppe trägt, und die Í7"~^ der 

 Ebene. Man kann das Ergebniss auch so aussprechen: 



„W ennii-|-l-(-v Puncte für ihre (7" genau w-j-l Bedingungen dar- 

 stellen, so müssen sie in einer Geraden liegen" (auf einer irreduciblen C" ist 

 eine solche Gruppe nicht möglich). 



Für V = 1 erhält man : n-\-2 Puncte liefern dann und nur dann eine anormale 

 Gruppe für (7", wenn sie auf einer Geraden sind. Denn für eine anormale Gruppe beträgt 

 der Excess wenigstens 1 , für n -f- 2 Puncte kann er auch nicht grösser sein, und wenn er := 1 

 so müssen die n-\-2 Puncte in gerader Linie liegen. G*^^^2 i^* somit ein Symbol für 

 n-{-2 Puncte einer Geraden, sobald diese Bedingung der Lage aufgehoben wird, hat 

 man G'"^^- 



3. Lehrsatz. Wenn für h Puncte a zutrifft, dass alle durch je h — 1 

 der a gehende C" auch den ä'°" Punct aufnehmen, und hiebei A<;2ii-j-2, so 

 müssen die a in gerader Linie liegen. 



Beweis. Für w z= 1, n — 2 leuchtet die Richtigkeit der Aufstellung ein, wir nehmen 

 sie für n — 1 an, und folgern daraus Gleiches für n. Wir verbinden zwei a durch eine Ge- 

 rade i, so wird diese entweder alle h Puncte enthalten, oder nicht. Die letztere Voraus- 

 setzung führt zu einer Gruppe von \ < 2{n — 1) + 2 Puncten a, ausserhalb L, die sich 

 gegen C"""^ ebenso verhalten muss wie die h Puncte gegen (7", daher müssen dieselben in 



