6 7. Prof. K. Küpper. 



in einer Geraden L^ liegen, und (N. 2.) h^ müsste wenigstens = »i — 1 + 2 sein. Da nun 

 ausserhalb Ly gewisse a vorkommen — z. B. die beiden anfangs verbundenen — sicher aber 

 weniger als n-\-l Puncte, so könnten diese sich nicht in gleicher Weise gegen die (T~^ ver- 

 halten, wie die ä gegen (7", was doch der Fall sein müsste (wegen derjenigen (7", deren Be- 

 standtheil L^ ist). Also dürfen ausserhalb L keine a mehr vorkommen, w. z. b. w. 



Zusatz. Ist ^ = 2« -j- 2, so ist die vorgeschriebene Lage wohl eine hinreichende ; 

 nicht aber eine nothwendige Bedingung dafür, dass der Gruppe die im Satze supponirte 

 Eigenschaft zukommt. Indess sind hier nur noch zwei Gruppirungen möglich; nämlich ent- 

 weder die a liegen insgesammt auf einer irreduciblen C*, oder aber zu gleichen Theilen auf 

 zwei Geraden L■^^ L^. 



Dass diese Anordnungen genügen, ist offenbar, ihre Nothwendigkeit erhellt so : Man 

 verbinde je zwei a und nehme erstens an, dass auf keiner der Verbindungslinien ein dritter 

 a erscheint. Durch zwei Paare der a nebst a^ sei C\ bestimmt, und es werde von den übrig- 

 bleibenden 2n — 3 a ein beliebiger a^ abgesondert, die jetzt fehlenden 2n — 4 lassen sich 



paarweise durch w — 2 Gerade verbinden, welche eine (T~ ^ darstellen ; woraus folgt, Cl muss 

 durch «^ gehen; und sämmtliche a fallen auf Cl. 



Wenn zweitens eine der gedachten Verbindungslinien, etwa a^ a^ noch einen oder 

 einige abträgt, so müssen die fehlenden, deren es höchstens 2n-\-2 — 3<;2(k — 1)4-2 

 gibt, nach unserem Satze auf einer Geraden i^ sein, und wenigstens n-\-l betragen, damit 

 sie sich gegen die C~^ verhalten wie die h Puncte gegen ť7". Weiter müsste die Gruppe 



.a^ «2 a. ganz dasselbe Verhalten gegen die C"~^ zeigen, folglich dürfte dieselbe ebenfalls 

 nicht weniger als n-\-l Puncte a umfassen. Der Excess ist bei beiden Gruppirungen der 

 gleiche 3 = 1. 



4. Lehrsatz. Jede anormale Gruppe G^^ in der Q-<2?i -(-2 umfasst 

 als Untergruppe áieG'-^l^^(v. 2.). Gleiches gilt noch, wenn Q = 2ra-f-2, zugleich 

 aber q>l. 



Beweis. Die in N" 1. durchgeführte Betrachtung lässt sofort erkennen, dass in 

 ^fn+2^^^^ anormale Untergruppe von 2m -|-1 Planeten existirt. Nun kommen in jeder anormalen G^ 



zufolge des 2"" Lehrsatzes Q — x:=h Puncte vor, wie sie im 3. vorausgesetzt wurden; des- 

 halb müssen diese Q — ce Puncte in gerader Linie, und zugleich Q — £c ^ n -j- 2 sein. 



Wählt man demnach n-\-2 Puncte beliebig auf einer Geraden L, welche die G^^^ij 

 darstellen können, sodann die übrigen Q — n — 2 Puncte irgendwo ausserhalb L, so hat 

 man G'-^\ Lässt man dann der Reihe nach einen, zwei, oc. der nicht in L befindlichen 

 Gruppenpuncte auf L fallen, so erhält man G'-^\ (r^^ oc. Kann man aus irgend einem Grunde 

 höchstens n-{-l-\-Vy Puncte auf L bringen, so wäre nur noch G^^^'^ möglich, v^ der Maximal, 

 excess. Sollte man z. B. auf einer irreduciblen (T""*"* eine dieser Gruppen angeben, etwa die vom 

 Maximalexcess, so bestände sie aus den n-\-3 Schnittpuncten einer Geraden Z mitC"'^^ und 

 Q — n — 3 willkürlichen Puncten der C"'^^, der Excess wäre stets = 2, auch in dem Falle 



