Zur Theorie der algebraischen Ourvm »'"■ Ordnung: (f. 7 



Q = 2k4-2, da die ausserhalb L liegenden Q — n — 3 in Anbetracht ihrer Zahl für C"~^ 

 normal sind. Verwendet man nur n-\-2 Schnittpuncte von (7"+^ u. L zur Gruppenbildung, 

 so entsteht G'-^. Auf diese Weise findet man, wie eine ď-^ vom Maximalexcess 2 auf (7"+' 

 nothwendig beschaffen ist; wofern Q innerhalb der vorgeschriebenen Grenze — 

 unter 2n-\-B bleibt. 



Wir werden später diese Grenze überschreiten (III), einstweilen sei darauf aufmerksam 

 gemacht, dass die bisher untersuchten Gruppen auf einer irreduciblen (7^ nicht vorkommen, 

 weil (j^^^2 in keiner derselben fehlt. Von selbst drängt sich die Frage auf nach dem Mini- 

 mum X des Q einer auf (7^ befindlichen anonnalen Gruppe <?^? Dass es auf C" solche Grup- 

 pen gibt, wenn Q ^ ^ -, folgt daraus, dass man auf C" immer "'■"'T|~ ' 1 Puncte 



so annehmen kann, dass durch sie genau ooiC" gehen, welche überdies C" in festen Puncten 

 schneiden, wenn n > 2. Ein solcher fester Punct den angenommenen hinzugefügt würde eine 

 derartige Gruppe liefern. 



Es soll daher unter den n^ Schnittpuncten a von C" mit einer vorläufig unbekannten 



C" eine G^f von möglichst kleinem x aufgefunden werden, das vor allem < ' '' ^ ' . Eigentlich 



ist damit der Fall n = 3 ausgeschlossen ; jedoch genügt die Berücksichtigung des Geschlechtes 

 1 der Cl um zu sehen, dass weniger als 9 Puncte gegen die C" sich normal verhalten, anor- 

 mal einzig und allein 9 Puncte sind, in denen CJ von einer anderen C" geschnitten wird. 



Unter der auf C" « >• 3 vorausgesetzten G'-f kann man (1) x — 1 finden so, dass die 



durch sie möglichen C den os*™ Punct aufnehmen; die C" schneiden mithin C" in Gruppen 



n(n -4- 3) 

 von w* — X Puncten, deren Beweglichkeit mindestens ^ 1 — (x — 1) ist. 



Folglich wird n^ — x — \~^—^ — ^\<Z g -• 



Der Ausdruck rechts ist das Geschlecht p der C"; deshalb bedingt bekanntlich die 

 Ungleichung, dass die n^ — x Puncte a auf einer (T~^ sein müssen, d. h. 



n^ — a ^ n(n — 3) oder x ^ 3n. 



Hiernach wäre 3n das Minimum von Q. Da aber die übrigen n^ — 3« Punct a der 

 vollständige Schnitt der C^ mit einer C""^ sind, so muss durch die 3» Puncte eine C' 

 gehen. In der That liefern 3n Schnittpuncte von C" und C" eine G^^. Denn die von ihren 

 C" aus C^ geschnittene Schaar wird auch von den C"~^ der Ebene ausgeschnitten, hat also 

 die Beweglichkeit-^^ — „ , und durch jede Gruppe existiren oo^C", auf welchen die G^^^ 

 ebenfalls liegt. Die Mannigfaltigkeit der zu G^^^ gehörenden C" ist somit: 



ÜLZzilü+i, d.i. i^iü±il_3n + l. 



