g 7. Prof. K. Küpper. 



Der hergeleitete Satz: „Die 3w Schnittpuncte einer C" mit C^ bilden die anormale 

 Gruppe mit kleinster Punctzahl auf C^" gilt offenbar auch, wenn m = 2, ?i = 3 ist. 



11. Ueber die Art des Zerfallens gegebener oo'' Curven n*^"* Ordnung (C") oder 



einer Mannigfaltigkeit 0) von C". 



Wenn eine wie immer bestimmte Mannigfaltigkeit {n) von C" yorliegt, und man 

 findet, dass jede dieser Cf besteht aus einer festen C""" und oo'' Curven C", die nicht alle 

 zerfallen, so nennen wir dieselbe primitiv reducibel, xmd C ^k den Kern der 

 Mannigfaltigkeit. 



Ist eine Gruppe G von Q Puneten gegeben, und ist bekannt, dass genau co'^C" exi- 

 stiren, welche diese Q als einfache Puncte enthalten, ferner, dass die C" ausnahmslos redu- 

 cibel sind, so werden wir beweisen, dass ihr Zerfallen stets in der als pri- 

 mitiv definirten Weise stattfinden muss. 



Um Missverständnissen vorzubeugen, betonen wir nachdrücklich, dass ein Gruppen- 

 punct für die (7" einfach, d. h. nicht mehr als eine Bedingung sein soll. Verhält es sich anders, 

 so wird die Behauptung unhaltbar, z. B. die C\ welche die 4 Grundpuncte eines Büschels 

 (C^) zu Doppelpuncten haben, bestehen aus je zwei dieser C^, und constituiren ein Netz {C^}, 

 das keinen Kern besitzt, daher nicht primitiv reducibel ist. 



1. (i=:l: Sollen alle durch die G möglichen C" reducibel sein, und 

 durch einen einzigen Büschel {C") erschöpft werden, so ist (C") ein primitiv 

 reducibler Büschel. 



Beweis. C? sei eine der oo' Curven, die einfach durch jeden der Q Puncte geht, 



sie sei zusammengesetzt aus den irreduciblen C. , C! oc. Auf C? sind hier die Q Puncte in 

 Gruppen von q^. , q. , . . . vertheilt; die auf C". fallenden q. Puncte mögen die Gruppe der 



CT heissen. 



Wenn nun durch die irgend einer C" angewiesenen Gruppe q" keine zweite C" 

 einerlei ob irreducibel oder nicht geht, mit anderen Worten wenn jede denkbare C" 

 um ihre Gruppe g" unbeweglich ist, so folgt sofort, dass die Anzahl der überhaupt 

 existirenden C nothwendig endlich ist: Für q <.Q hat man innerhalb G im Ganzen 



—r-, — '- — r^ differente Gruppen von ie q Puneten. Unter diesen sind die auftretenden 

 q\{n — q)\ 



q. zu suchen; mithin sind sie der Zahl nach beschränkt, und da jede q^ einer einzigen C^ 



zugewiesen ist und umgekehrt, so sind die C" nur in endlicher Menge vorhanden. 



