Zur Theorie der algebraischen Ourven n*"" Ordnung: C". 13 



die auch in zwei Gerade ij, L^ zerfallen kann, wo dana auf jede n + l Gruppenpuncte 

 kommen müssen v. I. 3., oder aber G^f* „ enthält G^\„. 



Im ersten Falle hätte man x=l, im anderen ebenfalls x=zl, wenn nicht mehr als 

 m -}- 2 Puncte — diejenigen von G^^^ — in einer Geraden L liegen. Wären aber « + 3 Grup- 

 penpuncte in L, so wird x=:2, einerlei wie die übrigen n — 1 Puncte liegen. Sonach ist 

 ^^^ <^2n+'2 und GfJ^, möglich. 



Ad a) Nachdem die Beschaffenheit der ö^^^^g feststeht, kann man durch Disposition 

 des 2n-\-S Punctes q nicht über x hinaus wachsen lassen, wenn a3:=2, d. h. wenn schon 

 n-{-3 der Q Puncte in einer L sind. Fasst man ferner eine der beiden Arten O^n+i *^f' 



so könnte man durch Verlegung des 2n -\- 3*"" Punctes höchstens g- r= 2 erhalten, und zwar 

 dann, wenn dieser auf C^ gebracht wird, oder wenn er mit den n — 1 ausserhalb L zu den- 

 kenden Puncte in gerader Linie liegt. Wir haben mithin auf C""^^ diese beiden Gruppi- 

 rungen: erstens n-|-3 Puncte auf einer L, die übrigen willkürlich, zweitens 

 sämmtliche 2«-f-3 Puncte auf C^ Das Maximum q = 2. 



Ad b) Wird diejenige Gf^_^2 ^^ Grunde gelegt, welche ihre Puncte auf einer C 

 hat, so bleiben 2 Puncte von Q disponibel. Man erlangt 3=3, wenn beide auf C^ angenommen 

 werden, ein kleineres q, sobald dies nicht geschieht. 



Wird Gan+a ^^ w -)- 2 Puncten auf L gedacht, so bleiben w -)- 2 disponibel. Um q=:3 

 hervorzubringen, stehen zwei Wege und diese allein offen, nämlich: man verlege noch einen 

 Gruppenpunct auf L, die übrigen n -|- 1 bringe man auf eine Gerade ij^, oder man bringe 

 alle «4-2 auf eine i^, denn nur dann können n-\-2 Puncte für ihre C^^ noch den Excess 

 2 besitzen. 



Liegt endlich G''^\^ vor, mitn + 3 Puncten auf L, so müssen die disponiblen in 

 gerader Linie liegen, damit q den Werth 3 erreichen könne. 



Kurz, wie man es auch machen möge, die G^2n+* ^^^^ ^^^ Gänze einer C" 

 angehören. 



Man übersieht sofort, dass bei c), d) das gleiche Resultat gewonnen wird: 



„Für die Gruppen von2« + 4, 2« + 5, 2n-\-6 Puncten der (7"+^ beträgt 

 der grösste Excess resp. 3, 4, 5 und damit er eintrete, müssen sich die 

 Gruppen auf einer C^ befinden." 



Nunmehr wenden wir uns zur Behandlung einer Aufgabe, von deren Lösung die 

 Entscheidung vieler wichtigen die Kaumcurven betreffenden Fragen abhängt: 



2. Auf einer irreduciblen C" vom Geschlechte ^ j = ^-^ -j- 1 sind 



die Specialschaaren grösster Mannigfaltigkeit zu bestimmen! 



