14 7. Trof. K. Kü 



Einige erläuternde Worte dürften hier passend erscheinen : Eine Gruppe (r^ auf C\ 

 heisst Specialgruppe, wenn durch sie eine C"~^ möglich ist. Ist G^ die Basis von ca Curven 

 C^~ , so schneiden diese aus (7" eine lineare Schaar von Gruppen G^(R:=2p — 2 — Q), 

 welche die Reste der G^ genannt werden. Mit ^r^' wird diese Eestschaar bezeichnet, der Ex- 

 ponent r gibt ihre Mannigfaltigkeit an, oder auch die Beweglichkeit irgend 

 einer ihrer Gruppen G^^\ Zu jeder G^^^ gehört (in analoger Weise wie zu G^) eine 

 Eestschaar g^, in welcher G^ als Gruppe erscheint, und man weiss durch den Restsatz, 

 dass alle diese Schaaren doch nur eine einzige g^ ausmachen. Diese völlig bestimmte g^ ist 

 durch irgend eine ihrer Gruppen gegeben, weil zu jeder dieser Gruppen immer nur g^^^ als 

 Eestschaar gehört, deshalb soll sie die Schaar einer aus ihr genommenen Gruppe 

 und g^R ihre residuale Schaar heissen. 



R Puncte von C"^, durch welche eine C""^ nicht möglich ist, bestimmen gleichfalls 

 eine lineare Schaar y^, in welcher sie eine Gruppe Fj^ bilden, nur sind die ausschneidenden 



Curven CT von höherer als der n — S*'' Ordnung, sonst von beliebig grossem m. Ein wesent- 

 licher Unterschied zwischen (r^ und r^ fällt sogleich in die Augen, nämlich wenn G-^ über- 

 haupt beweglich ist, so muss F^ immer eine kleinere Beweglichkeit haben. Der Grund dafür 

 ist einfach der, dass von den Schnittpuncten einer CT mit C^ weniger als p durch die 

 übrigen bestimmt sind, sobald m = n — 3, hingegen p, wenn m>n — 3. 



Die vornehmste Eigenschaft einer SpecialgTuppe G^ spricht sich in dem Fundamen- 

 taltheorem aus: 



„D ie Beweglichkeit der Gruppecr^ in ihrer Schaarist einerlei mit dem 

 Excesse q von G^ bezüglich ihrer C"~l'' (Riemann-Roch.) 



Nehmen wir demzufolge das Zeichen G^^^ in dem von uns gebrauchtem Sinne (wo q 

 Excess bedeutet), so werden wir dasselbe in einem neuen Sinne aufzufassen haben, nämlich, 

 wo q die Beweglichkeit der Gruppe darstellt. Da wir oben die factische Mannigfaltigkeit der 

 durch Gf legbaren (7"~^ mit r bezeichnet haben, so folgt: 



p — l — Q-\-q = r, 



oder auch 



I. 2(r — q) = E—Q. 



Und in g^^ hat r nicht blos die ihm anfangs beigelegte Bedeutung der Beweglichkeit 

 irgend einer G''^\ sondern noch die des Excesses der Gruppe für ihre C^. 



Den Zusammenhang der Excesse r, q zweier residualen Gruppen offenbart die 

 Gleichung I. 



