Zur Theorie der algehraischen Curven n Ordnung: C. 15 



Wenn z. B. q der Maximalexcess wäre bei bestimmtem Q, so hätte man zugleich in 

 r das Maximum für die Zahl 2p — 2 — Q. 



Setzen wir eine gegen die C^^ normale Gruppe voraus, d. h. q=: o, so ist dieselbe 

 unbeweglich, und umgekehrt. Ferner: Gleichzeitig normal oder anormal sind zwei residuale 

 Gruppen nur wenn E=Q = p — 1 ist, anderenfalls ist stets die gTössere Gruppe anormal. 



Bevor wir die allgemeine Lösung der uns gestellten Aufgabe entwickeln, wollen wir 

 die uns bereits bekannten Specialfälle einer näheren Betrachtung unterziehen, weil wir bei 

 dieser den später einzuschlagenden Weg angedeutet finden, und die Bedeutung des Problems 

 erkennen werden. 



a) Weniger als n — 1 Puncte Q liefern eine normale Gruppe für (T~^, also muss 

 eine solche fest auf C^ sein ; n — 1 = » — 3-|-2 Puncte sind dann und nur dann beweglich, 

 wenn sie in gerader Linie liegen. Ihre Beweglichkeit beträgt 1. 



Die Schaaren g'-^^_j^ werden somit von den Strahlenbüscheln ausgeschnitten, deren 



Centra auf C^ sind. 



71 Puncte in gerader Linie zeigen die Beweglichkeit 2, andernfalls eine geringere 

 (n — 3 -[- 3 = n). 



h) üeberdies kennen wir (v. IL 4., III. 1.) die Gruppen vom Maximalexcess für 

 Q ^ 2m. Nämlich ist Q=z2n — ß und /3 < 3, so geht durch eine solche Gruppe eine C^, ihr 



Excess ist 5 — ß. Die Schaaren 9^,^» werden daher von den durch ß beliebige Puncte der 



C" gehenden C^ ausgeschnitten — hiebei ist ß = nicht ausgenommen. Hat man /i > 3, so 

 besteht eine Gruppe vom Maximalexcess (IL 4.) aus n Puncten einer Geraden, und n — ß 

 beliebig zu wählenden Puncten ; der zugehörige Excess ist von ß unabhängig und zwar = 2. 



Im Falle /i = 3 sind zweierlei Gruppen möglich, die eine auf einer irreduciblen C^ 

 befindlich, die andere, bestehend aus n Puncten einer Geraden, nebst n — 3 willkürlichen 

 Puncten, für beide gilt derselbe Excess q=:2. 



c) Kennt man aber für ein gewisses Q die Gruppen G^*' mit maximalem Excess, so 

 liegen auch in deren Restschaaren ť?^' alle diejenigen vor, denen bei der Gruppenzahl 

 2p — 2 — Q die grösste Beweglichkeit zukommt (III, 1). 



Wenn sich nun (b) Q durch die Formel 2n — ß (ß <: n) ausdrückt, so folgt : 



R={n — ?,)n — 2n-\-ß=z{n — ^)n — {n — ß), 



wo wieder 



w — /Í = |S' < w. 



Ferner ist durch (3^3 bedingt, /Í' — n — 4 -(- 1. 



