Zur Theorie der algeiraischen Cwven « "" Ordnung: C"- li 



liehe Puuct auf, während der andere Theil aus den (n — 4)n Schnittpuncten der Cl mit jeder C"~* 

 bestehend volle Beweglichkeit besitzt, q ist -^^ — =— (w — 3 + 1). 



3. Die vorstehende Untersuchung lieferte die fi-aglichen Schaaren für die speciellen 

 Werthe von Q: 



{n — 3) M — ß, (n — 4) n — ß, 2n — ß, (/5 <; n), ebenso Q = n, n — 1. 



Wenn deshalb die Ordnung n der Grundcurve C" unter 7 liegt — n>3 ist selbst- 

 verständlich — so sind alle denkbaren Schaaren grösster Beweglichkeit bereits bestimmt. 

 Z. B. n=:6: Man bringe Q in die Form un — ß{ß<,'n). Da es sich um Specialgruppen 

 handelt, ist « ^ w — 3 d. h. ^ 3 ; und die sich ergebenden Fälle sind erledigt in folgender 



Weise: Die möglichen Schaaren werden aus Cl entweder durch Curven C 

 ausgeschnitten, welche durch ß beliebige Puncte der C\ gehen, oder aber, 

 sie bestehen aus 6 — ß festen Puncten nebst dem vollständigen Schnitt- 



punctsystem von Cl und den C der Ebene. 



Jetzt werden wir durch Induction den Nachweis führen, dass es sich bei (7^ ge- 

 rade so verhält. 



Wir werden demnach voraussetzen, auf C\ (v<;n) hätten die Schaaren grösster Be- 

 weglichkeit die so eben definirte Beschaffenheit und zeigen, dass Gleiches für C" gilt. Man 



muss hiebei diese aus der angenommenen Existenz jener Schaaren auf Cj folgende Um- 

 stände beachten: 



1. Betrachtet man zwei solche für die Zahlen Q und Q' erhaltene Schaaren, so 

 sieht man sofort, dass wenn Q < Q', die Beweglichkeit der erstgedachten Schaar die der 

 zweiten nicht überschreiten kann — allerdings ist Gleichheit der entsprechenden Ma- 

 ximalwerthe in leicht erkennbaren Fällen vorhanden. — 



2. Eine Schaar für Q = «v — /3 kann nur dann eine grössere Beweglich- 

 keit als ^ J^ ^ — /3 besitzen, wenn /Í>«-1- 1. 



InductionsbeweisfürC^. Durch Division von Q durch n sei erhalten Qz=u 



> 2 



.n — ß{ß<:in). Da « = 2, « = ?i — 4 bereits erledigt ist, so beschränken wir uns auf a ^ ^ _ ^, 



noch sei vorerst /3^ß-|-l. 



Wir beweisen zunächst, dass wenn auf C7" eine Schaar S'*J^_^ mit dem Werthe 



± 

 2 



g^ «(« + 3) _ß existiren soll, keine Gruppe O^ in dieser Schaar vorkommen 



darf, durch die eine irreducible C[ ^ möglich wäre. 



Mathematiich-natnrwIssenschaftUche Clasae TU. 3. 



