jg 7. Prof. K. Küpper. 



Aus der Riemann'schen Gleichung (I, dieser Abtheilung) folgt, dass durch G^ we- 



nigstens die Mannigfaltigkeit -^^ ^—^ —=:r von (T~ möglich ist. Wäre unter 



ihnen C^~^ irreducibel, so hätte man auf ihr eine Schaar mit der Gruppenzahl 



(m — 3) (« — 3) — na + /3 = (ra — 3 — a) (n — 3) — (3a — /3) ; 



welche Schaar aus C"~' von den übrigen <T~^ geschnitten würde. Weil aber /3^a-|-l, 

 so müsste 3« — /3 ^ 2a — 1 , und da « > 2 ; 3a — /3 >■ 3. 



Wird für C"~^ der Satz über die Schaaren zugestanden, so kann die erhaltene 

 o, „ , , „s ,„ o^ keine grössere Mannigfaltigkeit besitzen, als die für g, _ v, „, „ 



^(re — 3 — a)(ii— 3) — (3« — ß) ° o o i a(„ — 3—a){n — 3)— 3 



stattfindende maximale, und diese könnte den Werth -^^ ^-^ 3 nur dann 



überschreiten, wenn 3 grösser als n — 3 — a -j- 1 wäre, d. i. « > n — 5, was durch die über 

 « gemachte Unterstellung ausgeschlossen ist. Man sieht hieraus, dass durch G^ höchstens 



Qp C"~^ gehen können, wofern C"~* existirt. Wie wir oben 



sahen, muss die Mannigfaltigkeit dieser C"~® grösser sein (wenigstens den = r gesetzten 

 Werth annehmen). Folglich ist die irreducible C""^ nicht möglich, und weil G^ eine will- 

 kürliche Gruppe der 9^^^_g darstellt, heisst dies nichts anderes, als dass die durch irgend 

 eine Restgruppe Gj^ legbaren (T~^ auch sämmtlich reducibel sein müssen. 



Nach II. haben diese C"~^ einen festen Kern, nebstdem einen variablen Bestandtheil 

 C\ der den beweglichen Theil der o^'^ , aus (T. schneidet, und der nicht immer zerfällt. 



k(k -f- 3) 

 Sei erstens. ß<.a-\-l. Wegen q ^ J^ ß kann jetzt i nicht kleiner als 



a. sein. Gesetzt i:=za-\-x., so dass alle Cf durch xn-\~ß Puncte der (r^ gingen, ferner sei 

 C\ eine irreducible dieser C"; so würden die übrigen aus C\ eine Schaar von 



tt{a -\- x) — x{ii — a — x) — /J, 



oder weniger Puneten ausschneiden, je nachdem alle an — ß zux g^^^_g gehörenden Puncte 

 beweglich wären, oder nur ein Theil derselben. Aber schon n — tc — a3>-3, (daa4-a;<;n — 3), 

 auch ist 3 <; a -|~ 1 — weil a > 2. Die Annahme o; > ist somit unmöglich, wenn die C" 



noch die Mannigfaltigkeit J^ ß darbieten sollen. 



Folglich ist nothwendig i =z a. Auf jede der ausschneidenden C" fallen ausser den 

 an — ß zur g _„ gehörigen Puneten noch an — (an — ß)'=-ß Puncte des Restes, und weil 



